Definición alternativa de la función Gamma. Mostrar que $ \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^m}{m \times (m+1) \times \dots \times (m+n)} = (m-1)!$

Question

La definición alternativa de la función Gamma en Wikipedia la define como un límite.

ps

¿Cómo recuperamos las propiedades familiares de la función Gamma de esta manera? Podemos mostrar que:

ps

Me gustaría ver todos los enteros. En ese caso, estamos mostrando que$$ \Gamma(t) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^t}{t \times (t+1) \times \dots \times (t+n)}$

ps

Lo que me arroja es que el factorial ya aparece en la parte inferior y de alguna manera se desplaza a la cima.

Answer 1

Observe:

$\Gamma(m) = \lim\limits{n \to \infty} \frac{n! \; n^m}{m \times (m+1) \times \dots \times (m+n)} = \lim\limits{n \to \infty} \frac{(m-1)! \; n! \; n^m}{(m + n)!} = (m - 1)! \times \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n! \; n^m}{(m + n)!}$.

Ahora vamos a ver que $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n! \; n^m}{(m + n)!} = 1$:

$\lim\limits{n \to \infty} \frac{n! \; n^m}{(m + n)!} = \lim\limits{n \to \infty} \frac{n^m}{(n + 1) \times \ldots \times (n + m)} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) \times \ldots \times (1 + \frac{m}{n})} = 1$.

Por lo tanto,

$\Gamma(m) = (m - 1)! \times \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n! \; n^m}{(m + n)!} = (m - 1)!$, q.e.d.

Answer 2

Puede demostrarse mediante inducción matemática, es fácil mostrar que para$m=1$,$\Gamma (1)=1$, supongamos$m=k+1$, luego$$\Gamma(k+1)=\lim _{n\rightarrow \infty}\frac{n!n^{k+1}}{\prod _{i=k+1}^{k+1+n}i}=\lim _{n\rightarrow \infty}\frac{n!n^{k}}{\prod _{i=k}^{k+n}i}\cdot \frac{nk}{k+1+n}$$, Let $$a_n=\frac{n!n^{k}}{\prod _{i=k}^{k+n}i}$ $ and $$b_n=\frac{nk}{k+1+n}$$, therefore we have $ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} a_n = \ Gamma (k) = (k-1)!$ and $ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} b_n = k$, so we have $ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} a_nb_n = k! $

Answer 3

Me encanta pequeños retos...

$\Gamma(t)=\lim \limits_{n \to \infty}\frac{n!n^t}{t(t+1)(t+2)\ldots(t+n)}$

Nota: el denominador de la fracción es en sí mismo un factorial de tipo.

$\lim \limits_{n \to \infty}\frac{n!n^t}{t(t+1)(t+2)\ldots(t+n)}=\lim \limits_{n \to \infty}\frac{n!n^t}{\frac{(t+n)!}{(t-1)!}}=\lim \limits_{n \to \infty}\frac{(t-1)!n!n^t}{(t+n)!}=\Gamma(t)=(t-1)!$

$\lim \limits_{n \to \infty}\frac{(t-1)!n!n^t}{(t+n)!}=(t-1)!$

$\lim \limits_{n \to \infty}\frac{n!n^t}{(t+n)!}=1$

$\lim \limits_{n \to \infty}n!n^t=\lim \limits_{n \to \infty}(t+n)!=\lim \limits_{n \to \infty}1 \times 2 \times 3 \times \ldots (n-1)(n)(n+1) \ldots (n+t-1)(n+t)$

$=\lim \limits_{n \to \infty}n!(n+1)(n+2)(n+3)\ldots(n+t-1)(n+t)$

$\lim \limits_{n \to \infty}n^t=\lim \limits_{n \to \infty}(n+1)(n+2)(n+3)\ldots(n+t-1)(n+t)$

$=\lim \limits_{n \to \infty}(t+n)(t+(n-1))(t+(n-2))\ldots(t+1)(t)=\lim \limits_{n \to \infty}(t)(t+1)(t+2)\ldots(t+(n-1))(t+n)$

A partir de aquí, no tengo idea. Cualquier método de Euler o de Weierstrass se utiliza para probar esto debe haber sido increíble.

Recuerdo uno de los famosos cosas de Euler (Basilea Problema) fue demostrando $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$. Se trataba de series de taylor y la multiplicación de un montón de términos usando Newton Identidades o algo por el estilo. No sé si eso es posible aquí, pero no estoy $that$ bueno en matemáticas.