Buscando una aproximación a la notación matemática en la que el universo se divide en mundos disjuntos.

Question

¿Existe un enfoque riguroso de la notación matemática en el que el "universo" se divide en "mundos" disjuntos y el significado de la notación depende del mundo? Esto resolvería algunos problemas molestos. En última instancia, no busco una solución manual, sino algo que sea casi legible para el ordenador.

He aquí tres ejemplos de cuestiones molestas que me gustaría resolver de forma rigurosa. Nótese que muchas de las siguientes cuestiones sólo se plantean si utilizamos un fundamento teórico de conjuntos, porque en dicho fundamento todo es un conjunto. Sin embargo, creo que cuestiones similares se plantearían en cualquier fundamento.

1. Si $f$ y $g$ son funciones que mapean $X \rightarrow Y$ y $*$ es una operación binaria sobre $Y$ , yo querría $f * g$ para igualar $x \mapsto f(x)*g(x)$ . Así, por ejemplo, la expresión $f \cup g$ debe ser igual a $x \mapsto f(x) \cup g(x)$ . Por supuesto, si $f$ y $g$ se ven como conjuntos de pares ordenados, entonces $f \cup g$ ya tiene un significado, así que tenemos un conflicto. Este conflicto desaparece si consideramos que las funciones existen en un "mundo" diferente al de los conjuntos, de modo que la misma notación puede significar cosas diferentes.
2. Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias, querría $(X,Y)$ para denotar la variable aleatoria $\omega \mapsto (X(\omega),Y(\omega))$ . Sin embargo, $(X,Y)$ ya tiene un significado (es un par ordenado), y por lo tanto tenemos un conflicto. Una posible solución sería ver $X$ y $Y$ como perteneciente a un mundo en el que $(*,*)$ se define de forma diferente a la normal.
3. Es habitual escribir $f(X)$ como abreviatura de $\{f(x)\,|\,x \in X\}$ . Sin embargo, si los números naturales se construyen a la manera de Von Neumann, entonces, por ejemplo $2 = \{0,1\}$ Por lo tanto $f(2)=\{f(x) \,|\,x \in 2\}=\{f(x) \,|\,x \in \{0,1\}\}=\{f(0),f(1)\}$ que probablemente no es lo que el escritor quiso decir con $f(2)$ . Para evitarlo, hay que considerar que los números naturales viven en un mundo disjunto del mundo de los conjuntos (es decir, un número natural no debe identificarse con su codificación Von Neumann).

Así que, para reiterar, estoy buscando una aproximación a la notación matemática en la que el universo esté dividido en mundos disjuntos y la notación dependa del mundo.

EDIT: Caveman en su respuesta sugiere que el cálculo lambda de tipo simple resuelve el problema. Si alguien sabe de una introducción suave a este campo, por favor deje un comentario.

Answer 1

Las tres cuestiones son puramente sobre las convenciones de la notación matemática; no hay necesidad de una metafísica matemática creativa para resolverlas. Los dos primeros ejemplos que das muestran que, en general, no es posible ampliar la notación de la forma que uno considere conveniente, sin chocar con interpretaciones conflictivas ya establecidas. La solución suele ser simplemente modificar la notación para que no surja la confusión. Otra posibilidad (y cuestionable) es utilizar la antigua notación de todos modos, y advertir específicamente al lector de que no debe entenderse por su anterior interpretación no deseada. El tercer ejemplo señala un abuso establecido de la notación que ya es problemático. Sin embargo, el abuso está tan arraigado que cualquiera que introdujera un nuevo dispositivo notacional para evitar el conflicto sería considerado pedante, a menos que el contexto matemático fuera uno en el que tanto el conjunto $X$ y sus elementos estaban en el dominio de la función.

Answer 2

Puede que no sea lo que buscas, pero una idea es que cada sistema axiomático formalizado en negro sea su propio "mundo". Entonces puedes tener un álgebra formal muy suave en rojo que opere sobre todos los objetos negros, donde x=y si el sistema axiomático que garantiza x es el sistema axiomático que garantiza y, y x=y en ese sistema. Sin embargo, creo que se puede construir considerablemente a partir de ahí. Los "sistemas axiomáticos formalizados en negro" podrían ser diferentes ramas de la matemática conocida, en lugar de puro abstractum, lo que te permitiría deshacerte de la cosa de los dos colores para tus propósitos.