¿No unital módulo sobre un anillo con identidad?

Question

¿Hay un ejemplo no trivial de un módulo no unital sobre un anillo con identidad? Por trivial, me refiero a módulos con $rm = 0$ % todo $r$y $m$.

Sólo una pregunta ociosa. (¿Por qué no existe ninguna etiqueta para?)

Answer 1

En esencia no hay ningún contraejemplo porque de la siguiente lema:

Lema: Todos (no necesariamente unital) módulo es una suma directa de un unital módulo y un trivial módulo.

Prueba: Vamos a $V$ ser el módulo. A continuación, pretendemos que $V=1_AV\oplus \operatorname{ker}\lambda_{1_A}$ donde $\lambda_{1_A}$ está a la izquierda de la multiplicación con $1_A$. De hecho, vamos a $v$ estar en su intersección,$v=1_Aw$$0=1_Av=1_A^2w=1_Aw=v$, por lo tanto la intersección es igual a cero y, además, $v=1_Av+(v-1_Av)$ con el ex sumando pertenecientes a $1_AV$,$\operatorname{ker}\lambda_{1_A}$.

Answer 2

Que $A$ indicar el % de anillo $\mathbb{Z}$, y que $M$ denotan el Grupo abeliano $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ considerado según un módulo $A$ con la multiplicación escalar mapa $A\times M\to M$ $$(a,(m_1,m_2))\mapsto (am_1,0).$ $ esto es una estructura de módulo % # % no trivial #%, y es no unital porque multiplicar por $A$ no es el mapa de la identidad en $1\in A$.

Answer 3

Tan solo me gustaría agregar a Zev excelente contraejemplo:

Si $M$ es un grupo abelian, a continuación, $\text{End}(M)$ denota el conjunto de endomorphisms de $M$. (Un endomorfismo del grupo abelian $M$ es un grupo homomorphism $M\to M$.) De hecho, $\text{End}(M)$ es un anillo en el marco de las operaciones de pointwise suma (adición en el ring) y la función de la composición (la multiplicación en el anillo).

Ejercicio 1: Demostrar que $\text{End}(M)$ es un anillo si $M$ es un grupo abelian. (Compruebe el anillo de axiomas!)

Ahora, la especificación de una $R$-módulo de $M$ es equivalente a la especificación de un anillo homomorphism $R\to \text{End}(M)$. ¿Cómo es eso? Así, si tenemos un $R$-módulo de $M$, entonces simplemente mapa de $r\to \phi_r$ donde $\phi_r:M\to M$ está definido por la regla de $\phi_r(m)=rm$$m\in M$. Así, tenemos un mapa de $R\to \text{End}(M)$.

Ejercicio 2: Si $M$ $R$- módulo, a continuación, compruebe que este es un anillo homomorphism $R\to \text{End}(M)$. Compruebe también que la especificación de un anillo homomorphism es equivalente a la especificación de un $R$-módulo de $M$.

Ahora, decir que el $M$ es unital $R$-módulo es decir que este anillo homomorphism $R\to \text{End}(M)$ es unital; es decir, la unidad de $R$ se asigna a la unidad de $\text{End}(M)$. (La unidad de $\text{End}(M)$ es la identidad homomorphism $M\to M$, en caso de no hacer Ejercicio 1. Si esto no es obvio, entonces yo sugiero que usted haga Ejercicio 1!)

Ejercicio 3: Probar que cada anillo es isomorfo a $\text{End}(M)$ para un grupo abelian $M$.

Este es el análogo del teorema de Cayley en el anillo de la teoría y es la inversa de Ejercicio 1. (Usted podría inspirarse en la prueba de Cayley del teorema en la solución Ejercicio 3.) Así que, de hecho, encontrar el ejemplo que usted busca es equivalente a encontrar un anillo homomorphism $R\to S$ que no toma a la unidad de $R$ a la unidad de $S$. I. e., encontrar un no-unital anillo homomorphism $R\to S$ de los anillos. Eso es lo que Zev ha hecho. Pero pensando en el problema de esta forma hace que sea muy fácil de construir contraejemplos. ¿Cuáles son ejemplos de no-unital anillo homomorphisms de que usted sabe? Sé que algunos, por ejemplo,

Ejercicio 4: Probar que $\mathbb{R}\to M_2(\mathbb{R})$ definido por la regla $x\to \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ no es unital anillo homomorphism.

Puede encontrar otros?

Espero que esto ayude!