¿Teorema de Gauss tiene una integral sobre un derivado de "producto interno" mientras que el teorema de Stokes tiene una integral sobre un derivado exterior? ¿Y "divergencia" asociado con el teorema de Gauss y el "curl" asociado con el teorema de Stokes? ¿Y "divergencia" se refiere a los movimientos (por ejemplo líquidos) hacia (y desde) una superficie, mientras que rizo se refiere a los movimientos alrededor de una superficie)?
Respuestas
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Antes de dar una comparación/contraste tipo de respuesta, primero vamos a examinar lo que los dos teoremas decir intuitivamente.
Stokes Teorema dice que si $\mathbf{F}(x,y,z)$ es un campo de vectores en 2-dimensiones de la superficie de $S$ (que se encuentra en el espacio 3-dimensional), a continuación, $$\iint_S \text{curl }\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \oint_{\partial S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},$$ donde $\partial S$ es el límite de la curva de la superficie de la $S$.
El lado izquierdo de la ecuación se puede interpretar como la cantidad total de (infinitesimal) de rotación que $\mathbf{F}$ impactos sobre la superficie de la $S$. El lado derecho de la ecuación se puede interpretar como la cantidad total de "spinning" que $\mathbf{F}$ afecta a lo largo de la curva de límite $\partial S$. Stokes Teorema nos dice que estos dos aparentemente diferentes medidas de la "vuelta" que en realidad son la misma!
Es notable también porque únicamente de saber cómo $\mathbf{F}$ afecta a la curva de límite $\partial{S}$, podemos deducir cómo $\text{curl }\mathbf{F}$ afecta a la totalidad de la superficie!
La Divergencia Teorema dice que si $\mathbf{F}(x,y,z)$ es un campo de vectores en 3 dimensiones sólidos de la región de $E$ (que se encuentra en el espacio 3-dimensional), entonces $$\iiint_E \text{div }\mathbf{F}\,dV = \iint_{\partial E} \mathbf{F}\cdot\mathbf{N}\,dS,$$ where $\parcial E$ is the boundary surface of the solid region $E$, and $\mathbf{N}$ is an outward-pointing normal vector field on $E$.
Si pensamos en $\mathbf{F}$ es algún tipo de líquido, entonces el lado izquierdo mide la cantidad de líquido que es el exterior que fluye (como fuente) o hacia el interior que fluye (como un receptor). Es decir, el lado izquierdo mide la cantidad total de (infinitesimal) divergencia (apertura hacia el mundo/interioridad) de $\mathbf{F}$ a lo largo de todo el sólido $E$.
Por otro lado, el lado de la derecha nos dice cuánto de $\mathbf{F}$ es "pasar a través" de la superficie de $\partial E$. En otras palabras, es el flujo de $\mathbf{F}$ través $\partial E$.
Así, el Teorema de la Divergencia nos dice que estas dos medidas diferentes de la "apertura hacia el mundo" de $\mathbf{F}$ (las fuentes/sumideros en el interior del sólido vs el flujo a través de la frontera) son en realidad la misma! Citando a Wikipedia: "La suma de todas las fuentes menos la suma de todos los sumideros da el flujo neto de una región."
Y de nuevo, tenemos una situación en la que el comportamiento de $\mathbf{F}$ sobre el límite nos da una idea de cómo las $\mathbf{F}$ actúa en toda la región!
Similitudes: Ambos Stokes y Teorema de la Divergencia Teorema de relacionar el comportamiento de un campo de vectores en una región para su comportamiento en la frontera de la región. Como Zhen Lin señaló en los comentarios, esta similitud se debe a que el hecho de que ambos Stokes y Teorema de la Divergencia Teorema pero son casos especiales de una sola, muy potente ecuación (conocido como el Teorema Generalizado de Stokes).
(La Generalizada del Teorema de Stokes es algo avanzado, y por lo general va por el nombre de Stokes Teorema, mientras que el de Stokes Teorema que hemos estado hablando es a menudo llamado el Kelvin-Teorema de Stokes. Esta es la razón por la página de la Wikipedia sobre "Stokes Teorema" puede parecer bastante avanzado -- es principalmente acerca de la Generalizada del teorema.)
Diferencias: Stokes Teorema habla de la "rotación" a lo largo de una superficie que tiene una curva de límite. El Teorema de la Divergencia se habla de "fuentes y sumideros" en el interior de un sólido que tiene un límite de superficie.
Por lo tanto, además de ser acerca de los diferentes tipos de cantidades ("rotación" vs "divergencia"), usted debe notar que los dos teoremas se aplican a tipos completamente diferentes de las regiones. Es decir, una superficie que tiene una curva de límite (configuración de Stokes Teorema) no se incluya un sólido de volumen (configuración del Teorema de la Divergencia), y a la inversa.
Gudmundur Orn
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En un sentido, si se asocia curl con Stokes y de la divergencia con el teorema de la Divergencia, usted tiene lo que usted necesita para reconocer cuándo usar cada uno. Pero en lugar de un mnemónico, me gusta aferrarse a un ejemplo, para ver las diferentes aplicaciones.
De Gauss teorema se utiliza con frecuencia en la electrodinámica. Con él, usted consigue el hecho de que el flujo eléctrico de un volumen de espacio que se relaciona con la distribución del campo dentro de ese espacio (como medido por la divergencia), la cual es relativa a la cantidad de carga que en ese espacio. Vea aquí.
Stokes es también utilizada es la electrodinámica, pero es en cambio más utilizados directamente en la Ley de Ampere. Se relaciona los campos magnéticos de la corriente que los crea, y esto es una especie de niza, en el sentido de que se da una razón por la que debe atravesar una forma en un bucle.
Eric Naslund
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