Usando diferenciales

Question

Sé que es posible hacer esto:

ps

pero me pregunto si esto tiene sentido?

ps

entonces si$$\frac{dy}{dx} \frac{dt}{dt} = \frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx}$ entonces$$\frac{d}{dx}\left(\frac{dt}{dt}\right) = \frac{d}{dt} \left(\frac{dt}{dx}\right)$ y

ps

pero esto es como decir

ps

y$t=x^4$.

entonces tiene sentido en ese caso al menos ... Supongo que en el momento esta notación aún es misteriosa.

Answer 1

La notación de sí mismo, es sólo eso, una notación. Mientras que puede parecer "limpia y segura" para mover los diferenciales a su alrededor como si sólo son de otra variable, técnicamente hablando, no es una forma válida de hacer matemáticas.

Ahora, siempre que comprenda y siga las reglas, algunas manipulaciones a lo largo de esas líneas puede todavía llegar a un resultado correcto, aunque potencialmente a través de medios dudosos.

Un buen ejemplo de esto aparece comúnmente en ecuaciones diferenciales textos:

$$f(x,y)dx + g(x,y)dy = 0$$

... que, cuando se escribe de la forma adecuada es:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{f(x,y)}{g(x,y)}$$

Sin embargo, cuando se utiliza como un recurso mnemotécnico que la primera es una buena manera de ayudar a un estudiante a recordar cómo encontrar el medico adjunto de la educación a distancia y en última instancia, llegar a una solución general.

Bajo el capó, el ex pueden ser re-escrita como:

$$f(x,y)\frac{dx}{dt} + g(x,y)\frac{dy}{dt} = 0$$

... debido a la regla de la cadena:

$$\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx} = -\frac{f(x,y)}{g(x,y)}$$

... donde aquí se debe suponer que $x(t)$ tiene una inversa $x^{-1}(t) = t(x)$ tal que $\displaystyle\frac{1}{\frac{dt}{dx}} = \frac{dx}{dt}$, para llegar a la ecuación homogénea. Probablemente estoy faltan algunos otros detalles pertinentes, pero esto está más cerca de una manera más correcta para el trabajo con los diferenciales de los ad-hoc de los métodos que normalmente se enseñan en las ecuaciones diferenciales de los textos.

Answer 2

El diferencial de una función diferenciable$f(x)$ at$x_0$ es la expresión$f'(x_0)dx$. Si$f(x)=x$, entonces$f'(x_0)dx=1\cdot dx=dx$. La manipulación algebraica de los diferenciales puede ser intuitiva en ciertos casos, pero debe verificarse, es decir, probarse o refutarse rigurosamente.