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Demostrar la desigualdad ab+bc+ca+33abca+b+c4ab+bc+ca+33abca+b+c4

Empecé a estudiar inecuaciones - trato de resolver un montón de inecuaciones y leer interesantes .soluciones . Tengo un buen pdf, se puede ver desde aquí . La desigualdad que traté de resolver y no logré encontrar una solución se puede encontrar en ese pdf pero voy a escribir aquí para ser más explícito.

Ejercicio 1.3.4 (a) Dejemos que a,b,c sean números reales positivos. Demostrar que ab+bc+ca+33abca+b+c4.

(b) Para los números reales a,b,c>0 y n3 demostrarlo: ab+bc+ca+n(33abca+b+c)3+n.

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Por favor, evite utilizar $$__$$ en el título.

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user15453 Puntos 291

Escriba ab+ab+bc3a3abc por AM-GM.

Usted obtiene LHSa+b+c3abc+n(3abca+b+c).

Establecer z:=a+b+c3abc y a continuación observe que para n3 , z+3nz3+n. En efecto, el mínimo se alcanza para z=3n3 ya que z3 el mínimo se alcanza de hecho para z=3 .

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¿Cómo has demostrado que z+3n/z3+n para n3?

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Michael Rozenberg Puntos 677

Por C-S cycab=cyca2ab(a+b+c)2ab+ac+bc. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que (a+b+c)2ab+ac+bc+33abca+b+c4. Ahora, dejemos que a+b+c=3u , ab+ac+bc=3v2 y abc=w3 .

Por lo tanto, nuestra desigualdad es f(v2)0, donde f disminuye, por lo que basta con demostrar la última desigualdad para un valor máximo de v2 , lo que ocurre para el caso de igualdad de dos variables.

Como la última desigualdad es homogénea, podemos suponer b=c=1 . Además, deja que a=x3 .

Es decir, tenemos que demostrar que (x3+2)22x3+1+3xx3+24 o (x1)2(x6+2x5+3x4+2x3+x2+6x+3)0. ¡Hecho!

La siguiente desigualdad también es cierta.

Dejemos que a , b y c sean positivos. Pruébalo: ab+bc+ca+243abca+b+c11.

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xjkina Puntos 11

Siguiendo las motivaciones anteriores y aplicando tres veces el AM-GM: 13(ab+ab+bc)+13(bc+bc+ca)+13(ca+ca+ab)+33abca+b+ca3abc+b3abc+c3abc+33abca+b+c=a+b+c33abc+a+b+c33abc+a+b+c33abc+33abca+b+c4((a+b+c33abc)2)144.

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Frew Puntos 133

Primero, demostraré que ab+bc+ca3 y luego demostraré que 33abca+b+c .

1) ab+bc+ca3

Llamemos a φ(x1,x2,x3)=x1x2+x2x3+x3x1 . Le'ts demuestran que φ se minimiza cuando x1=x2=x3 : φxi=1xi+1xi1x2i=x2ixi1xi+1x2ixi+1 (con x4=x1 y x0=x3 ).

Así que Δφ=0 es equivalente a : x21=x2x3 x22=x1x3 x23=x1x2

Dividiendo una ecuación por otra, obtenemos que x1=x2=x3 . Tenemos que demostrar que φ es convexa, para demostrar que esta función se minimiza cuando su gradiente es 0 . Para ello, vamos a calcular su matriz hessiana M :

M=(Mij)=(2φxixj) Lo tenemos: Mii=2xi1x3i Mi(i+1)=1x2i+1 Mi(i1)=1x2i

Lo que nos da:

M=(2x3x311x221x211x222x1x321x231x211x232x2x33)

Calculando su determinante y verificando que es positivo se verá que φ es convexo, lo que permite demostrar la desigualdad 1)

2) 33abca+b+c1 Esto equivale a 3abca+b+c3 o ln(a+b+c3)13(lna+lnb+lnc) lo cual es cierto porque la función ln es cóncavo.

Combinando esas dos desigualdades, resolvemos instantáneamente las dos preguntas.

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