Problema 5 de la "topología de Milnor desde el punto de vista diferenciable"

Question

Soy tratando de llegar a una solución para el problema que, por cierto, se afirma lo siguiente:

Si $m<p$, muestran que de cada mapa se $M^m\to S^p$ es homotópica a una constante mapa.

A partir del capítulo, usted puede (debe) suponga $M$ es un compacto (y, puede ser, sin fronteras) liso ($=C^\infty$) colector (Hausdorff, segundo contables, localmente euclídeo topológico colector de dimensión $m$). He estado tratando de utilizar Milnor del Teorema de B:

Dos asignaciones de $M$ $S^p$son suavemente homotópica si y sólo si el asociado de Pontryagin colectores están enmarcadas cobordant.

Yo no puedo venir para arriba con un cuadro de un colector correspondiente a una función constante. ¿Tiene algún sentido? Quiero decir, ¿cuáles son los regular los valores de dichas funciones? ¿Qué se puede hacer con un conjunto vacío, en este caso?

Yo tengo un montón de preguntas aquí, si todo lo dicho anteriormente es completamente absurdo, ¿cómo proceder? ¿En qué otros libros podría aprender más (he buscado en google un montón y todas las demás referencias parecía copia de Milnor de trabajo...)

Gracias de antemano.

Answer 1

Si$m<p$, la imagen de$f$ no es surjective, deje$y\in S^p$ que no está en$f(M)$ y$p_y:S^p\rightarrow R^p$ la proyección estereográfica centrada en$y$,$p_y\circ f$ es homotópico para una constante: define$H_t(x)=t(p_y\circ f)(x)$,$p_y^{-1}\circ H_t$ es la homotopía solicitada.

Uso el hecho de que la proyección estereográfica$p_y:S^p-\{y\}\rightarrow R^p$ es un difomorfismo