Expresión general para$\sin(2^n x)$

Question

¿Hay expresiones generales para $\sin(2^n x)$ y $\cos(2^n x)$ que sólo implican $\sin x$ y $\cos x$ y que además implican sólo polinomio (en $n$) número de términos?

Editar:

no es polinómico en $2^n$ $n$. Una prueba de que tal expresión no sale (quizás con la singularidad de polinomios de Chebyshev?) sería aceptada con mucho gusto.

Answer 1

Si entiendo el espíritu de la cuestión, ninguna de estas expresiones de existir. En primer lugar, $\cos(2^n \theta)$ es par, entonces un polinomio en $\sin \theta$ $\cos \theta$ que es igual a $\cos(2^n \theta)$ sólo contiene incluso los poderes de $\sin\theta$, y por lo tanto puede ser escrito como un polinomio en $\cos\theta$, como marty señala cohen.

Ahora, $\cos(2^n \theta)$ $2^{n+1}$ simple ceros en el intervalo de $[0, 2\pi]$. Por el contrario, si $p_n$ es un polinomio con coeficientes reales y "polinomio-en-$n$ términos" (mi interpretación de la pregunta original), a continuación, $p_n$ ha polinomio-en-$n$ raíces en el intervalo de $[-1, 1]$ por la regla de Descartes de los signos, y, en consecuencia, $p_n(\cos \theta)$ se desvanece sólo polinomio-en-$n$ veces $[0, 2\pi]$.

Answer 2

Yo podría estar perdiendo algo aquí... pero la identidad de $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$ puede ser trivialmente aplica $n$ veces para obtener una expresión con el polinomio de longitud: $$\begin{eqnarray} \cos(2^nx) & = & 2\left(\cos(2^{n-1}x)\right)^2-1 \\ & = & 2\left(2\left(\cos(2^{n-2}x)\right)^2-1\right)^2-1 \\ & = & 2\left(2\left(2\left(\cos(2^{n-3}x)\right)^2-1\right)^2-1\right)^2-1 \\ & & \vdots \\ & = & 2\left(2\left(\ldots \left(2\left(2\cos^2 x-1\right)^2-1\right)^2\ldots\right)^2-1\right)^2-1 \\ \end{eqnarray}$$

Tenga en cuenta que este resultados en tan sólo una ocurrencia de la $\cos x$ plazo y el conjunto de la expresión contiene $n$ dos en dos, $n$ squarings y $n$ sustracciones de $1$. Por lo tanto, la longitud del sabio es el polinomio. Por supuesto, deshacerse de las plazas soplaría el tamaño de la fórmula exponencialmente.

Similar enfoque puede ser utilizado para $\sin(2^nx)$; baste notar que $$\sin(2^nx)=2^n\sin(x)\cos(x)\cos(2x)\cos(4x)\ldots\cos(2^{n-1}x)$$ and apply the expression above to the $\cos(2^kx)$ terms (resulting in expression of length quadratic in $$ n). Si uno está interesado en la evaluación de la expresión, es posible hacerlo mucho mejor (gracias al alto nivel de redundancia).