Ayuda para encontrar un método para integrar esta función trigonometría

Question

Iba sin embargo una prueba dada en mi libro y parte de ella requiere resolver

$$\frac{ad-bc}{2 \pi} \int^{2\pi}_0 \frac{d \theta}{(a \cos\theta+b\sin\theta)^2+(c \cos\theta+d\sin\theta)^2} $$

Que dice "norma técnicas" resultaría en = sign($ad-bc$)

Tal vez mis técnicas de integración son un poco oxidados, pero me preguntaba cómo ir sobre esto. Me imagino que la parte de la integración se convierte de alguna manera en algo a lo largo de las líneas de $\dfrac{2\pi}{|ad-bc|}$ de alguna manera, pero no puedo ver acerca de cómo llegar.

Answer 1

Aquí está una solución geométrica (que es no lo que usted pudo desear): Let $E$ ser la imagen del círculo unidad en el mapa linear con el % de matriz $M=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}^{-1}$. Es una elipse, que puede ser parametrizados como $(r(\theta)\cos\theta,r(\theta)\sin\theta)^T$ (para la función apropiada $r(\theta)$). Entonces $\int_0^{2\pi}r(\theta)^2\,d\theta$ es dos veces su área, es decir, $2\pi|\det M|$.

Para determinar $r(\theta)$: la imagen de $(r(\theta)\cos\theta,r(\theta)\sin\theta)^T$ $M^{-1}$ es en el círculo unitario, desde que llegamos que $r(\theta)$ es el inverso de la longitud de $$\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta\\sin\theta\end{pmatrix}$ $ es decir $\int_0^{2\pi}r(\theta)^2\,d\theta$ es precisamente la integral.

Answer 2

Aquí es un enfoque que usted puede probar: Eliminar los corchetes en el denominador. Usted va a obtener un $2absint$ $2cdsint$ que se puede convertir en $(ab+cd)sin2t$ Más que usted conseguirá un montón de $sin^2t$ $cos^2t$ términos que pueden ser convertidas en $cos2t$ términos de identidades. Ahora su denominador se va a parecer a $p + qsin2t+rcos2t$ En este punto se puede utilizar la tangente del ángulo mitad de sustitución (de Weierstrass de sustitución) para convertir la integral en una función racional integral. Su denominador será de naturaleza cuadrática y el numerador es una constante. Ahora es más sencillo. La mente que usted tiene que romper la integral en separar las integrales ya que hay valores por los que $tan(x/2)$ (su weierstrass sub) no existe.