Estoy tratando de conseguir algunos mejor intuición acerca de los operadores en espacios con producto interno complejo. ¿Cuando identificamos $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{R}^{2n}$, hay una agradable interpretación geométrica para los operadores resultantes en $\mathbb{R}^{2n}$? Idealmente, esta caracterización daría una construcción geométrica para el adjoint generalización verbal como reflejo de la línea real. También, "ver" la descomposición polar estaría bien.
Respuesta
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Unitario operadores en $\mathbb{C}^n$ se dio cuenta de que los operadores que son ortogonales y simpléctica en los correspondientes $\mathbb{R}^{2n}$ (con una estructura simpléctica compatible con el original de la estructura compleja) . Esto es debido a la 2-de-3 propiedad del grupo unitario.
En consecuencia, la descomposición polar expresado en $\mathbb{R}^{2n}$ tiene la estructura:
$ A = U P$
donde $U$ es ortogonal y simpléctica de la matriz en $\mathbb{R}^{2n}$ $P$ positivo $ 2n \times 2n$ matriz con multiplicidad 2 autovalores. Esto se puede ver fácilmente a través de la realización de la descomposición polar a través de la descomposición de valor singular como se da por ejemplo en la siguiente página de la Wikipedia .
