Encuentre $a,b,c \in \mathbb R$ tal que: $$\left\{ \begin{align} a+b+c &=4 \\ \left( a+b \right) \left( b+c \right) \left( c+a \right) &=18 \\ \frac 1 a+\frac 1b+\frac 1c &=\frac 52 \end{align} \right.$$
¿Cómo puedo resolver $a,b$ y $c$ manualmente (sin usar un ordenador) ? Gracias.
Todas las soluciones son $(1,1,2)$ y permutaciones
$$ \begin{align} a+b+c &=4 \\ \left( a+b \right) \left( b+c \right) \left( c+a \right) &=18 \\ \frac 1 a+\frac 1b+\frac 1c &=\frac 52 \end{align} $$
Es útil notar que todas las expresiones aquí son expresables usando polinomios simétricos y, a su vez, son expresables mediante los polinomios simétricos elementales. $S_1=a+b+c$ , $S_2=ab+ac+bc$ , $S_3=abc$
La primera ecuación es simplemente $S_1=4$ .
De la segunda ecuación obtenemos $(a+b)(b+c)(c+a)=2abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2=(ab+ac+bc)(a+b+c)-abc=S_1S_2-S_3=18$ .
El tercero da $\frac 1a+\frac 1b+\frac 1c =\frac 52$ $\Leftrightarrow$ $\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{S_2}{S_3}=\frac52$ .
Así que tenemos $$\begin{align} S_1&=4\\ S_1S_2-S_3&=18\\ S_2&=\frac52S_3 \end{align}$$ que tiene la solución $S_1=4$ , $S_2=5$ , $S_3=2$ .
Ahora usando Las fórmulas de Vieta conseguimos que $a$ , $b$ , $c$ son soluciones de la ecuación cúbica $$x^3-4x^2+5x-2=0.$$
Ahora podemos aplicar prueba de raíces racionales que revela que $x=1$ es una solución y entonces obtenemos $x^3-4x^2+5x-2=(x-1)(x^2-3x+2)=(x-1)^2(x-2)$ . (O podríamos emplear uno de los métodos utilizados para resolver ecuaciones cúbicas .)
Podemos comprobar la solución o WolframAlpha o simplemente verificar que $a=b=1$ , $c=2$ cumplir con el sistema original. (Por supuesto, las permutaciones también son soluciones de las ecuaciones originales).
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