Búsqueda de $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^\infty \frac{e^{-x}\cos{x}}{nx^2 + \frac{1}{n}}dx$

Question

Demostrar que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^\infty \frac{e^{-x}\cos{x}}{nx^2 + \frac{1}{n}}dx$ existe y determinar su valor.

Answer 1

Sugerencia: Hacer la sustitución $x=y/n$ y aplicar el teorema de convergencia dominada para ver que

$$ \lim_{n \to \infty} \int_0^{\infty} \frac{e^{-x} \cos x}{nx^2+1/n}\,dx = \int_{0}^{\infty} \frac{dy}{y^2+1} = \frac{\pi}{2}. $$

Answer 2

Sugerencia: Romper esta integral en dos partes. $$ \int_0^\infty \frac{e^{-x}\cos{x}}{nx^2 + \frac{1}{n}}dx=\int_0^1 \frac{e^{-x}\cos{x}}{nx^2 + \frac{1}{n}}dx+\int_1^\infty \frac{e^{-x}\cos{x}}{nx^2 + \frac{1}{n}}dx$$ Para la primera parte se use integración por partes para mostrar que: $$\int_0^1 \frac{e^{-x}\cos{x}}{nx^2 + \frac{1}{n}}dx=[tan^{-1}(nx)e^{-x}cos(x)]^{1}_{0}-\int_0^1 tan^{-1}(nx)(e^{-x}\cos{x})'dx...(1)$$ El límite del término $[tan^{-1}(nx)e^{-x}cos(x)]^{1}_{0}$ puede ser encontrado fácilmente. El límite de la integral de la $\int_0^1 tan^{-1}(nx)(e^{-x}\cos{x})'dx$ puede encontrar señalando que $$\forall x\in[0,1][tan^{-1}(nx)(e^{-x}\cos{x})'\leq\frac{\pi}{4}(e^{-x}\cos{x})']$$ Por último, el uso de Lesbesuge de la convergencia dominada para encontrar el límite de la última integral apperaring en (1)

El límite de la segunda parte por señalar que $\forall n\in Z^+\forall x\geq 1[x^2+1\leq nx^2+\frac{1}{n}]$. Por lo tanto: $$\forall n\in Z^+\forall x\geq1[\frac{e^{-x}\cos{x}}{nx^2 + \frac{1}{n}}\leq\frac{e^{-x}\cos{x}}{x^2 + 1}]$$ Ahora usted puede utilizar Lebesuge del teorema de convergencia dominada para evaluar la segunda integral