Existencia de un anillo no semisimple tal que cada módulo sobre él tiene un submódulo simple

Question

¿Existe un anillo$R$ que no es semisimple pero cada módulo tiene un submódulo simple?

Answer 1

Aquí está un ejemplo: $R = \mathbb{Z}/4$.

No tome un cero $R$-módulo de $M$ que es simplemente un grupo abelian aniquilado por $4$.

Si $2M$ es distinto de cero, va a ser un no-cero $R/2R \simeq \mathbb{Z}/2$ módulo, sino $\mathbb{Z}/2$ es un campo, de hecho.

Si $2M$ $0$ $M$ $R/2R$ módulo, ... , realiza de nuevo.

Obs: Funciona de manera similar para $\mathbb{Z}/p^2$ $\mathbb{Z}/p^n$ y, más en general, para cada Artinian anillo (http://en.wikipedia.org/wiki/Artinian_ring)