Si $2^x/\sqrt{x}=n$, $x$ ¿cómo crecen asintóticamente?

Question

Si $\dfrac{2^x}{\sqrt{x}}=n$ $x\rightarrow\infty$ $n\rightarrow\infty$, ¿dónde ¿cómo $x$ crece asintóticamente en términos de $n$?

Sabemos que crece más rápido que $\log n$, porque $\dfrac{2^{\log n}}{\sqrt{\log n}}=\dfrac{n}{\sqrt{\log n}}<n crece="" despacio="" m="" n="" pero="" porque="" que="">n$.</n>

Answer 1

Tomar registros (base 2) da

$$\lg n = x - \frac{\lg x} {2}, \tag{1}$$

y, dividiendo por $x$,

$$\frac{\lg n} {x} = 1 - \frac{\lg x} {x 2}.$$

Se observa que el $x \to \infty$ $n \to \infty$, que $(\lg x)/(2x) \to 0$ $n \to \infty$ y así

n de $$\lim_{n \to \infty} \frac{\lg} {x} = 1.$$

Equivalente,

\to \infty n $$x \qquad \text{as n \sim \lg}.$$

Answer 2

Trabajando en el registro a la base 2, que $y=x-\log n$ así que $y=\frac{\log x}{2}$; con que $\log n \leq x \leq 2 \log n$ (el último límite se puede aplicar por una iteración más del argumento de OP), obtenemos: $x-\log n - \frac{1}{2}\log \log n \in [0,c]$ $c$ constante pequeño.