Probando cada natural positivo tiene una factorización en números primos con fuerte inducción

Question

La pregunta está en el título.

Creo que mi caso base debe comenzar en 1, que sería válida porque el producto del vacío de números primos sería 1.

En mi libro dice para concluir $\forall n:P(n)$ necesito probar $Q(n)\rightarrow P(n+1)$, donde $Q(n)$ $\forall i:(i\leq n)\rightarrow P(i)$.

¿Cómo puedo hacer esta última parte?

Answer 1

Sugerencia:

Hacer la hipótesis de inducción fuerte y considerar el número $n+1$. Entonces

• tampoco cuenta con primer y listo;
• o no es prime, que significa que puede factor $n+1=rs$, $\; 1<r a="" aplicar="" cada="" de="" decir="" es="" fuerte.="" hip="" inducci="" la="" los="" n="" puede="" r="" uno=""></r>

Answer 2

El teorema realmente sólo se cumple para los números de $n \ge 2$, así que hay dos cosas que usted puede hacer:

• Se puede considerar que todos los números naturales, y para $P(n)$ "si $n \ge 2$ $n$ tiene un primer factorización."

Para probar esto, tomar un número arbitrario, y demostrar que si para todas las $m<n$: si $m \ge 2$ $m$ tiene una factorización en primos, entonces si $n \ge 2$ $n$ tiene una factorización prim

• restringir a sí mismo que los números mayores o iguales a 2. Ahora usted puede dejar a $P(n)$ que $n$ tiene una descomposición en factores primos, y se entiende que, cuando se considere la posibilidad de cualquier número, es un número mayor o igual a 2

Para probar esto, tomar un número arbitrario, y demostrar que si para todos los números $m<n$, $m$ tiene un primer facorization, a continuación, $n$ tiene una factorización en primos (pero, de nuevo, el $n$ y todos los $m$'s son considerados mayor o igual a 2)

La segunda forma es probablemente un poco más fácil, aunque tenga en cuenta la especial (base) en caso de que $n=2$, porque entonces no hay $m<n$ $m$ mayor o igual a 2. Así, usted necesita demostrar que 2 tiene una factorización prima.