Centroides y Medias Armónicas

Question

Un triángulo $ABC$ con centroide $G$ es tal que una línea $l$ que pasa por $G$ interseca $AB$, $BC$ y $AC$ en $H, I, J$, respectivamente. Demuestra que de las 3 distancias $d(G, I), d(G, H), d(G, J)$, una es la media armónica de las otras.

Answer 1

Deje que P, Q trisecten BC de modo que BP=PQ=QC.

Entonces, GP es paralelo a AB y GQ paralelo a AC

Así, GIP ~ HIB y GIQ ~ JIC.

Considere GI(1/GI + 1/GH + 1/GJ) = 1+ GI/GH + GI/GJ

\= 1 + PI/PB + QI/QC

\= 1 + PI/PB - QI/PB (ya que PB = -QC teniendo en cuenta la dirección)

\= 1 + PI/PB - (QP + PI)/PB

\= 1 - QP/PB = 0

GI debe ser distinto de cero ya que el centroide no puede encontrarse en ninguno de los bordes, por lo que podemos deducir que 1/GI + 1/GH + 1/GJ = 0

Lo cual, teniendo en cuenta las direcciones, se puede disponer de tal manera que una de las direcciones es la MITAD de la media armónica de las otras dos.