Estamos considerando la posibilidad de una transformación, que puede transformar el campo de las variables de $\phi^{\alpha}(x)$ y que puede transformar el espacio-tiempo de los puntos de $x^{\mu}$. La transformación en vez de aplicar a
La acción $S_V[\phi]=\int_V \! d^nx~{\cal L} $.
De Euler-Lagrange las ecuaciones = las ecuaciones de movimiento (MOE).
Una solución de $\phi$ de la MOE.
Si cualquiera de los artículos 1-3 son invariantes bajo la transformación, hablamos de una simetría del elemento correspondiente.
Si una solución de (3) no tiene una simetría que el MOE (2), nos hablan de la ruptura espontánea de simetría.
El próximo recordemos la definición de un (off-shell$^1$) cuasi-simetría de la acción. Esto significa que la acción cambia por un límite integral
$$\etiqueta{0.1} S_{V^{\prime}}[\phi^{\prime}]
+\int_{\partial V^{\prime}} \!d^{n-1}x~(\ldots)
~=~S_V[\phi]+ \int_{\partial V} \!d^{n-1}x~(\ldots) $$
en virtud de la transformación.
En general, si una acción (1) tiene un cuasi-simetría, entonces, la MOE (2) debe haber una simetría (wrt. la misma transformación), cf. por ejemplo, este Phys.SE post.
Ejemplos:
Un ejemplo es el Lagrangiano de Maxwell de la densidad (en el vacío sin la $J^{\mu}A_{\mu}$ fuente plazo)
$$\tag{1.1}{\cal L} ~=~ -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}~=~\frac{1}{2}(\vec{E}^2-\vec{B}^2), $$
que no tiene electromagnética $SO(2,\mathbb{R})$ la dualidad de simetría
$$\tag{1.2}(\vec{E}, \vec{B})\quad \longrightarrow \quad(\vec{E}\cos\theta - \vec{B}\sin\theta, \vec{B}\cos\theta + \vec{E}\sin\theta),$$
mientras que el de Euler-Lagrange las ecuaciones (las ecuaciones de Maxwell en el vacío) son simétricas en virtud de la dualidad electromagnética.
Otro ejemplo es el de un no-relativista punto libre de partículas donde el Lagrangiano
$$\tag{2.1}L~=~\frac{1}{2}m\dot{q}^2$$
no es invariante
en virtud de la simetría de Galileo
$$\tag{2.2}\dot{q}\quad \longrightarrow \quad\dot{q}+v,$$
ni la dilatación/escala de simetría
$$\tag{2.3} q \quad \longrightarrow \quad \lambda q,$$
pero el MOE
$$\tag{2.4}\ddot{q}~=~0$$
es invariante. En el caso de Galileo simetría (2.2), el Lagrangiano de cambios por un total de
tiempo de derivados
$$\tag{2.5} L \quad \longrightarrow \quad L +mv\frac{d}{dt}\left( q +\frac{vt}{2}\right).$$
Ver también este Phys.SE post. Por lo tanto (2.2) es en realidad un ejemplo de un cuasi-simetría de la acción. [Es un instructivo de ejercicio para obtener el correspondiente Noether cargo $Q$. En el nivel infinitesimal, la transformación de Galileo (2.2) se lee
$$ \tag{2.6}\delta \dot{q}~=~\delta v~=~\varepsilon, \qquad \delta q~=~\varepsilon t,\qquad \delta L ~=~ \varepsilon\frac{df}{dt}, \qquad f ~:=~mq. $$
El desnudo de Noether cargo
$$ \tag{2.7} Q^0~=~t \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}~=~t m\dot{q}, $$
mientras que el cargo es de Noether
$$ \tag{2.8}Q~=~Q^0-f~=~m(\dot{q}t-q),$$
que se conserva en la cáscara, cf. El Teorema de Noether. La (no-relativista) de Galileo, aumenta generador (2.8) se debe comparar con la (relativista) de Lorentz aumenta generadores $tP-xE$ en teorías de tipo relativista, cf. por ejemplo, este Phys.SE post.]
El oscilador armónico simple (SHO)
$$\tag{3.1} m\ddot{q}~=~-kq $$
no es invariante bajo la simetría temporal
$$\tag{3.2} t \quad \longrightarrow \quad \lambda t,$$
pero la solución trivial $q=0$ es.
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$^1$ Aquí la palabra off-shell indica que el MOE no se supone mantener en la transformación. En el caso de transformaciones continuas, si suponemos que el MOE para celebrar, entonces, cualquier variación infinitesimal de la acción es trivialmente un límite de la integral.
