?Es

Question

¿Cómo puedo mostrar eso?

$$ \ sum_ {i = 1} ^ {n-1} i = \ binom {n} {2}? $$

Esto es lo que he intentado, pero no sé si es correcto:

Prueba.

Dejar $n=2$. Entonces,

$$ \begin{align} \sum_{i=1}^{1}i&=1\text{, and}\\ \binom{2}{2}&=1. \end {align} $$

Por lo tanto, se sostiene. Suponga que esto es cierto para$k$. Luego, mostramos que también es cierto para$k+1$:

$$ \begin{align} \sum_{i=1}^{k}i=k+\sum_{i=1}^{k-1}i&=k+\binom{k}{2}\\ &=k+\frac{k!}{2(k-2)!}\\ &=k+\frac{k(k-1)}{2}\\ &=\frac{k(k+1)}{2}\\ &=\frac{(k+1)!}{2!(k-1)!}=\binom{k+1}{2}.\square \end {align} $$

Además, las pruebas por inducción son confusas de escribir. ¿Hay un "esqueleto" estándar para ellos que pueda usar?

Answer 1

Si la prueba por inducción es necesaria, el tuyo está muy bien.

Podemos alternativamente dar una combinatoria de la prueba. Tenemos la $n$ números de $1,2,\dots,n$ y quieres optar $2$ de ellos. Por definición, esto se puede hacer en $\binom{n}{2}$ maneras. Que nos permiten contar el número de opciones en cualquiera de los dos números de otra manera.

Quizás el menor de los dos números elegido es $1$. A continuación, el otro número puede ser elegido en $n-1$ maneras.

Tal vez el menor de los dos números elegido es $2$. A continuación, el otro número puede ser elegido en $n-2$ maneras.

Tal vez el menor de los dos números elegido es $3$. A continuación, el otro número puede ser elegido en $n-3$ maneras.

Continuar de esta manera. La última posibilidad es que el menor de los dos números elegido es $n-1$. A continuación, el otro número puede ser elegido en $1$ manera.

Por tanto, el número de opciones posibles de dos números es $$(n-1)+(n-2)+(n-3)+\cdots +2+1,$$ que es, precisamente,$\sum_{k=1}^{n-1}k$.

Answer 2

Sugerencia: let$a_n=1+2+3+\dots+n$ entonces tenemos$$a_{n+1}-a_{n}=(1+2+3+\dots+n+n+1)-(1+2+3+\dots+n)=n+1 \color{red}{\to}$$$$ a_ {n +1} -a_ {n} = n +1$$ easily by recursive relation we can find $ a_n $ see here relación de recidiva lineal

Answer 3

Una forma de derivar fórmulas como esta que se recuerdan fácilmente (para responder al comentario "¿Cómo se derivan identidades como esta?"):

Considere que$$\sum_{k=1}^n (2k-1) = \sum_{k=1}^n \Big(k^2 - (k-1)^2\Big) $$ $$= 1^2 - 0^2 + 2^2 - 1^2 + 3^2 - 2^2 \pm ... \pm n^2 - (n-1)^2=n^2.$ $

Junto con$\sum_{k=1}^n 1 = n$, esto da inmediatamente$$\sum_{k=1}^n k = \frac{n^2 + n}{2}.$ $

Podría argumentarse que la "suma telescópica" anterior requiere inducción para justificarse formalmente, pero parece más intuitiva que la suma$\sum_{k=1}^n k$.

Answer 4

Cuántos pares no ordenados de $n$ elementos hay?

Uno puede emparejar el primer elemento con cualquiera de $n-1$ otros.

Uno puede emparejar el segundo elemento con cualquiera de $n-2$ otros (aparte de la primera, que ya estaba en la lista anterior).

Uno puede vincular el tercer elemento con cualquiera de $n-3$ otros (aparte de los dos primeros, que ya fueron mencionadas anteriormente).

Uno puede vincular el cuarto elemento con cualquiera de $n-4$ otros (además de los tres primeros, que ya fueron mencionadas anteriormente).

. . . y así sucesivamente . . . . . .

Answer 5

Una prueba "indirecta" sería usar el hecho de que$$\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}$ $