Integral de una función creciente sobre un subconjunto del intervalo de unidad

Question

Que $E\subset [0,1]$ $\mu(E)=t$ y $f$ una función creciente. Demostrar que $\int_0^t f\leq \int_E f$.

La afirmación parece ser bastante claro para mí y puedo imaginar por qué esto tiene que ser cierto pero tengo un tiempo difícil para probarlo. ¿Cualquier insinuación de?

Answer 1

Sugerencias:

Que $A_1=[0,t] \cap E$, $A_2 = [0,t] \setminus E$ y $A_3 = E \setminus [0,t]$.

Tenga en cuenta que $\mu A_2 = \mu A_3$ y $f(x_2) \le f(t)$ % todo $x_2 \in A_2$y $f(t) \le f(x_3)$ % todos $x_3 \in A_3$.

Necesita mostrar que $\int_{A2} f \le \int {A_3} f$.

Answer 2

Este resultado sería obvio si $E$ fue un intervalo o una unión finita de intervalos. Extender esto al general $E$, utilice el hecho de que cualquier conjunto medible puede ser aproximada por una unión finita de intervalos. Es decir, para cualquier $\delta>0$, existe un conjunto $F$, de modo que $F$ es una unión finita de intervalos y $\mu(E\oplus F)<\delta$ donde $E\oplus F=(E\setminus F) \cup (F\setminus E)$ es la diferencia simétrica de a$E$$F$.

Usted entonces tiene $$ \Big|\int_E f\,d\mu\int_F fd\mu\Big|\le \int_{E\oplus F}|f| $$ Ahora, si $f\in L_1$, entonces la integral anterior sería arbitrariamente pequeño como $\mu(E\oplus F)\to 0$. (El resultado que estoy usando es $f\in L^1$ implica que para todos los $\epsilon>0$ que existe una $\delta$ $\mu(A)<\delta$ implica $\int_A |f|\,d\mu<\epsilon$, lo que usted debe probar.) Desde $|\int_E f\,\mu -\int_F f\,d\mu|$ es arbitrariamente pequeño, y $\int_F f\,d\mu \ge \int_0^t f\,d\mu,$ usted puede demostrar que $\int_E f\,d\mu \ge \int_0^t f\,d\mu$.

Yo se lo dejo a usted para averiguar qué hacer con $f\not \in L^1$.

Answer 3

Insinuación

Use funciones simples que se aproximan$f$ en$[0,1]$.