Encuentra el número más grande que tiene esta propiedad.

Question

El $13$-dígitos de número de $1200549600848$ tiene la propiedad de que para cualquier $1 \le n \le 13$, el número formado por la primera $n$ dígitos de $1200549600848$ es divisible por $n$ (por ejemplo, 1/2, 2/12, 3/120, 4/1200, 5/12005, ..., 13/1200549600848 el uso de un divisor de notación).

Pregunta 1: Encontrar la mayor calcula el número de tener esta propiedad.

Pregunta 2: ¿hay un límite superior teórico en el mayor número posible con esta propiedad?

Edit: se Agregó la Pregunta 2 como creo que es más perspicaz como en comparación con la fuerza bruta de cálculos por ordenador.

Answer 1

El On-Line de la Enciclopedia de Secuencias de Enteros de la lista de esta serie como A109783 y el estado que 3608528850368400786036725 obras de 25 dígitos, pero no hay tal 26 dígitos.

Un hilo titulado divisor problema en El Math Forum sugiere el siguiente argumento:

3608528850368400786036725 es el número más grande con este tipo de propiedad.

Por supuesto, cualquier subcadena desde la izquierda de este tiene la misma propiedad.

Deje que N sea un número con dicha propiedad. se buscó un dígito d tales que 10N+d tiene la propiedad.

Yo llamo una "terminal" número un número N que no puede ser "ampliado" que es para que ningún dígito d existe con 10N+d tiene la propiedad. El único "número", que puede ampliarse indefinidamente es 0000...

Todas las soluciones son entonces dado por el conjunto de estos "terminal" de los números. Este conjunto es finito y sólo hay 2492 terminal de números.

Muy interesante, es un número con todos los dígitos diferentes. La única solución es 3816547290

Edit: para contestar la pregunta 2 de forma explícita, el más grande es el de 25 dígitos de un número dado de arriba. No hay tal 26 dígitos y, por tanto, no 27, 28, 29, 30,... número de dígitos.

Podemos probar esta contradicción. Supongamos que hubo un 30 dígitos, entonces se podría cortar los últimos 4 dígitos y obtendríamos un 26 dígitos del número que satisface la propiedad requerida, pero sabemos que no existe tal número. La prueba por contradicción.

Answer 2

Escribí un pequeño programa de Mathematica para encontrar el mayor número de este tipo. El árbol completo de números con estas propiedades de divisibilidad es muy grande.

Answer 3

Hay$20456$ tales números, el más grande es$3608528850368400786036725$. Aquí está el código PARI / GP para imprimirlos todos:

 Q=List([1,2,3,4,5,6,7,8,9])
while(a=Q[1],listpop(Q,1);print(a);a=a*10;d=length(Str(a));for(i=0,9,if(!((a+i)%d),listput(Q,a+i))))
 

Answer 4

Suponiendo que$n_\max=13$ se repare, obtuve$9848587230963$, que tiene la propiedad de que para cualquier$1 \le n \le 13$, el número formado por los primeros dígitos$n$ es divisible por$n$

$$ \begin{eqnarray} 1&|&9\\ 2&|&98\\ 3&|&984\\ 4&|&9848\\ 5&|&98485\\ 6&|&984858\\ 7&|&9848587\\ 8&|&98485872\\ 9&|&984858723\\ 10&|&9848587230\\ 11&|&98485872309\\ 12&|&984858723096\\ 13&|&9848587230963\\ \end {eqnarray} $$