Comprobación de un ejercicio de ecuación funcional

Question

Sea $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función y $a \in \mathbb{R}$ tal que $$f(m+n) = f(m) + f(n) + a$$ $$f(2) = 10, f(20) = 118$$ Encuentre $a$ y $f$ .

Encontré este ejercicio al principio de un libro de texto de Análisis Real. Nunca he resuelto una ecuación funcional antes, pero aquí está mi solución (intento):

i) Utilizando la inducción es fácil verificar que para $m, n \in \mathbb{N}$ tenemos $f(m \cdot n) = m (f(n) + a)$ ya que $$f((m+1)n) = f(mn + n) = f(mn) + f(n) + a$$

ii) Entonces $118 = f(20) = f(10 \cdot 2) = 10 (f(2) + a) = 10 (10 + a) \Rightarrow a = \frac{9}{5}$

iii) Entonces $f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) + a \Rightarrow f(0) = -a = -\frac{9}{5}$ .

También obtenemos $10 = f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) + \frac{9}{5} = 2 f(1) + \frac{9}{5} \Rightarrow f(1) = \frac{41}{10}$

iv) Por último, podemos definir $f$ recursivamente por $f(0) = -\frac{9}{5}$ y $$f(n+1) = f(n) + f(1) + \frac{9}{5} = f(n) + \frac{41}{10} + \frac{9}{5} = f(n) + \frac{59}{10}$$

EDITAR

Entonces, gracias al usuario lulu, el patrón real debería ser $f(m \cdot n) = m f(n) + (m-1) a$ en su lugar. Utilizando esto en ii) se obtiene $a = 2$ . Entonces obtenemos en iii) que $f(0) = -2$ y $f(1) = 4$ Así que $f$ se define por $f(n+1) = f(n) + 6$ . Y ahora es bastante obivous que $f(n) = 6n - 2$ resuelve la ecuación.

Answer 1

$f(m+n)+a=f(m)+f(n)+2a$ Deja que $g(x)=f(x)+a\rightarrow g(m+n)=g(m)+g(n)$ .

Así que $g$ satisface la ecuación funcional de Cauchy y su solución es $g(n)=kn\rightarrow f(n)=kn-a$

$f(2)=10,f(20)=118 \rightarrow k=6,a=2,f(n)=6n-2$ .

Se puede utilizar el mismo método si $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ y $f$ es medible por Lebesgue.

Los detalles sobre la ecuación funcional de Cauchy podrían referirse a https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_functional_equation

Answer 2

SUGERENCIA:

Tenemos $$f(20)=2f(10)+a=10f(2)+9a\implies a=2$$

Consideremos ahora $$f(m-n)=f(m)+f(-n)+2\\f(m+n)=f(m)+f(n)+2$$ y sumando da $$f(m-n)+f(m+n)=2f(m)+f(-n)+f(n)+4$$ o $$f(2m)-2=2f(m)+f(0)-2+4$$ ¿Qué sabemos sobre $f(0)$ ?

Answer 3

Tenemos $$f(m+n) = f(m) + f(n) + a$$ Por lo tanto $$f(2n)=2f(n)+a$$ Así $$f(0)=2f(0)+a$$ Entonces $$f(0)=-a$$

Ahora \begin{align} f(20) &= 2f(10) + a \\ &= 2(f(8)+f(2)+a) +a \\ &= 2(2f(4)+a) +2f(2) +3a \\ &= 4(2f(2)+a) +2f(2) +5a \\ &= 10f(2) + 9a \\ 118 &= 100 + 9a \\ a & =2 \end{align}

Así que $$f(0)=-2, \ f(1)=\frac{10-a}{2}=4$$ Y $$f(2n)=2f(n)+2=2(f(n)+1)$$