¿Cómo normalizar la matriz?

Question

Tengo esta matriz, \begin{equation} T=\begin{bmatrix}a&b\\-b&-a\end{bmatrix} \end{equation>

Para normalizarla, la matriz $T$ debe cumplir esta condición: $T^2=1$ y $1$ es la matriz identidad. Para resolver eso, establezco $x^2T^2=1$ y resuelvo para x que es $\frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}}$. La matriz normalizada es \begin{equation} T=\frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}}\begin{bmatrix}a&b\\-b&-a\end{bmatrix} \end{equation>

La siguiente matriz P es un poco diferente, \begin{equation> P=\begin{bmatrix}c+a&b\\-b&c-a\end{bmatrix} \end{equation> ¿Se puede normalizar esta matriz P para la misma condición $P^2=1$?

Answer 1

Solo si $c=0$ o $a=b=0$.

$$\begin{bmatrix}c+a&b\\-b&c-a\end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix}(c+a)^2-b^2&2bc\\-2bc&(c-a)^2-b^2\end{bmatrix}$$

Si $P^2\varpropto I$, entonces $P^2_{ij}\varpropto I_{ij}$ para todos $(i, j)$

$$I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\\ I_{12}=I_{21}=0$$

Entonces: $$P_{12}=2bc=P_{21}=-2bc\varpropto I_{12}=I_{21}=0$$

Y por lo tanto $bc=0$.

Además, $P^2_{11}$ debe ser igual a $P^2_{22}$, ya que $I_{11}=I_{22}$.

$$(c+a)^2-b^2=(c-a)^2-b^2\\ |c+a|=|c-a|\\ c+a=c-a \text{o} c+a=a-c\\ a=0 \text{o} c=0$$

De hecho, una rápida consulta en Wolfram|Alpha muestra que para una matriz 2x2 sea normalizable, el índice superior izquierdo debe ser exactamente igual al negativo del índice inferior derecho (entre otras condiciones) a menos que los índices superior derecho e inferior izquierdo sean ambos cero. La matriz $P$ solo cumple esta condición cuando $c=0$ o $a=b=0$.