¿Cuál es la función inversa de$ f(x) = 0.02(x-1)^3 + 130(x-1)^{1.5} + 130(x - 1) $?

Question

La ecuación es graficado aquí: https://www.desmos.com/calculator/kgvnud77dg

Me he encontrado con esta ecuación como parte de la elaboración de un juego. Esta ecuación se utiliza para asignar el nivel de usuario a su puntuación acumulada. En el juego, yo sólo almacenar el usuario puntuación acumulada. Por lo tanto, necesito la inversa de la función para calcular el nivel sobre la marcha, simplemente pasando la puntuación.

Ejemplo de los correspondientes Niveles y Puntajes:

Nivel 1: $ f(1) = 0 $
Nivel 2: $ f(2) = 260 $
Nivel 3: $ f(3) = 627 $
Nivel 4: $ f(4) = 1066 $
Nivel 5: $ f(5) = 1561 $
Nivel 10: $ f(10) = 4694 $
Nivel 50: $ f(50) = 53312 $
Nivel 100: $f(100) = 160330 $
Nivel 200: $f(200) = 548423 $

Necesito ser capaz de calcular el nivel de uso de la puntuación, como este: $ f^{-1}(1561) = 5 $

Answer 1

En este caso, lo mejor es no utilizar la función inversa (cuya forma cerrado, si existe, es probablemente un lío horrible), pero para probar esta función en cada valor posible del nivel que desee (esperemos que no desea niveles infinitos) y luego, cuando y ou está dada una puntuación, revise el índice de la puntuación inmediatamente inferior. Esto funciona porque su función es estrictamente creciente. En pseudo código sería como este:

Answer 2

Hay $9$ puntos de datos $(x_k,y_k)$ $(1\leq k\leq 9)$. Si definimos $(\xi_k,\eta_k):=(\log x_k,\log y_k)$, es decir, trazar los datos en doble logarítmica de papel, a continuación, puede ver que, aparte de $(\xi_1,\eta_1)$ $(\xi_k,\eta_k)$ está situada cerca de una línea de aproximadamente dada por $\eta=4.4+1.65 \xi$. (Así se llama análisis de regresión puede encontrar los valores óptimos aquí). Dado que, no es una aproximación razonable de la conexión entre el nivel de $x$ y calificación de $y$ forma $y= c\,x^\alpha$$c\approx e^{4.4}$$\alpha\approx 1.65$. Una relación de este tipo se puede invertir fácilmente. Pero tenga en cuenta que el cómputo de la solución propuesta por @Matrefeytontias podría ser más barato y damos cuenta de los datos dados exactamente.