Resolver

Question

Resuelve$$8\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{\cos x}+\frac{1}{\sin x}$ $

Mi enfoque es el siguiente$8 \sin x-\frac{1}{\sin x}=\frac{\sqrt{3}}{\cos x}$

Al cuadrar, obtenemos

$64 \sin^2 x+\frac{1}{\sin^2 x}-16=\frac{3}{\cos^2 x}$

$(64\sin^4 x-16\sin^2 x+1)(1-\sin^2 x)=3 \sin^2 x$

Al resolver y reorganizar obtenemos$-64\sin^6 x+80\sin^4 x-20\sin^2 x+1=0$

Usando la sustitución$\sin^2 x=t$

$-64t^3+80t^2-20t+1=0$

No puedo resolverlo de aquí en adelante

Answer 1

ps

Answer 2

Necesitamos resolver$$8\sin^2x\cos{x}=\sqrt3\sin{x}+\cos{x}$ $ o$$2\sin2x\sin{x}=\cos(x-60^{\circ})$ $ o$$\cos{x}-\cos3x=\cos(x-60^{\circ})$ $ o$$2\sin30^{\circ}\sin(30^{\circ}-x)=\cos3x$ $ o$$\cos(60^{\circ}+x)=\cos3x.$ $ ¿Puede finalizarlo ahora?

Answer 3

Lo primero es lo primero, si realiza la sustitución$t=\sin^2x$, el polinomio que obtiene es$$-64t^3+80t^2-20t+1=0$$ Now, to decompose it, you could use Ruffini's rule: first we find a zero of the polynomial that divides the constant term (in our case $ \ pm 1$). Let us call the polynomial $ P (t)$, then $$P(1) =-64+80-20+1 \neq 0 \\P(-1) = 64+80+20+1 \neq 0$$ clearly we have no integer solutions! So what we can do is substitute $ z = \ frac {1} {t}$ and what we get is the following polynomial in $ z$ $$Q(z) = z^3-20z^2+80z-64$$ and now we apply the same rule: let us find a zero of $ Q (z)$ in the divisors of the constant term $ 64$ which are $ \ pm1, \ pm2, \ pm4, \ cdots$. You can easily see that $$Q(4) = 0$$ then we can go on with the simplification and get $$(z-4)(z^2-16z+16)=0$$ which is definetly easier to solve. We find $$z_1=4\implies t_1={1\over 4}\\ z_2=4(2-\sqrt{3})\implies t_2 = {1\over {4(2-\sqrt{3})}}\\ z_3 = 2(2+\sqrt{3})\implies t_3 = {1\over {4(2+\sqrt{3})}}$$ from which you can find the values of $ \ sin ^ 2x $

Answer 4

Buen trabajo hasta ahora.

Tenga en cuenta que cada exponente es par, por lo que puede sustituir $t^2=y$, para obtener una ecuación cúbica en$y$, que puede resolver con la fórmula Cardano.

Answer 5

Sugerencia para resolver la ecuación que obtuviste

Si haces$t=\sin^{2}x$, entonces obtienes$-64t^3+80t^2-20t+1=0.$ No tiene soluciones enteras. Entonces consideramos$z=1/t.$ Entonces tenemos

$$z^3-20z^2+80z-64=0.$$ It easy to see that $ 4 $ es una raíz. Entonces tenemos

$$z^3-20z^2+80z-64=(z-4)(z^2-16z+16).$$ Solve the quadratic equation and finally use that $ \ sin ^ 2x = \ dfrac1z. $