Relación entre el$2^n$ - homomorfismos de Bockstein

Question

El$2^n$ - Bockstein homomorphism$$\beta_{2^n}:H^*(-,\mathbb{Z}/{2^n})\to H^{*+1}(-,\mathbb{Z}/2)$ $ está asociado a la secuencia exacta corta$$0\to\mathbb{Z}/2\to\mathbb{Z}/{2^{n+1}}\to\mathbb{Z}/{2^n}\to0$ $ En particular,$\beta_2=Sq^1$ es el cuadrado Steenrod.

Mi pregunta: ¿cuál es la relación entre$\beta_{2^n}$ y$\beta_{2^{n+k}}$ para$n\ge1$,$k>0$?

Supongo que$$\beta_{2^{n+k}}\alpha=\beta_{2^n}$ $ donde$\alpha:H^*(-,\mathbb{Z}/{2^n})\to H^*(-,\mathbb{Z}/{2^{n+k}})$ es inducido por$$\mathbb{Z}/{2^n}\to\mathbb{Z}/{2^{n+k}}$ $ que mapea el generador de$\mathbb{Z}/{2^n}$ a$2^k$ por el generador de$\mathbb{Z}/{2^{n+k}}$.

¿Puedes ayudarme a probar o refutarlo?

¡Gracias!

Answer 1

Creo que es correcto. Considere el siguiente mapa de secuencias exactas cortas $$ \ require {AMScd} \begin{CD} 0 @>>> \mathbb{Z}/2 @>>> \mathbb{Z}/2^{n+1} @>>> \mathbb{Z}/2^n @>>> 0 \\ @. @| @VVV @VVV @. \\ 0 @>>> \mathbb{Z}/2 @>>> \mathbb{Z}/2^{n+k+1} @>>> \mathbb{Z}/2^{n+k} @>>> 0. \end {CD} $$

El homomorfismo de conexión inducido por la primera fila es$\beta_{2^n}$, el homomorfismo de conexión inducido por la segunda fila es$\beta_{2^{n+k}}$, y el tercer homomorfismo vertical induce lo que usted llama$\alpha$.

Por la naturalidad de conectar homomorfismos, tenemos $$ \ require {AMScd} \begin{CD} H^*(-, \mathbb{Z}/2^n) @>\beta_{2^n}>> H^*(-, \mathbb{Z}/2) \\ @V\alpha VV @| \\ H^*(-, \mathbb{Z}/2^{n+k}) @>>\beta_{2^{n+k}}> H^*(-, \mathbb{Z}/2), \end {CD} $$ que prueba tu afirmación.