Permitir que$G$ group y$\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)\cong H\leq Z(G)$ sean un subgrupo del centro de$G$ isomorfo a los enteros módulo$n$. ¿Es cierto que si$G/H$ es residualmente finito, entonces$G$ es residualmente finito? (def:$G$ es residualmente finito si por cada$g\in G\backslash\{e\}$% existe$g\not\in N\triangleleft G$). Tiene mucho sentido, pero no pude probarlo ni encontrar un contraejemplo. Cualquier ayuda es apreciada.
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Que debo hacer mi comentario en una respuesta.
Deje $p$ ser una de las primeras y deje $X = \{x_i,y_i : i \in {\mathbb Z}\} \cup \{z\}$, e $$R = \{x_i^p,y_i^p,[x_i,y_i]z^{-p}:i \in {\mathbb Z}\} \cup \{[x_i,x_j],[y_i,y_j]:i,j \in {\mathbb Z}\} \cup \{[x_i,y_j]:i,j \in {\mathbb Z}, i \ne j\},$$ y deje $G$ ser el grupo que se define por la presentación de $\langle X \mid R \rangle$. Por lo $G$ es el producto central de countably infinitamente muchas copias de un nonabelian grupo de orden $p^3$.
Entonces no es difícil ver que cualquier subgrupo de $G$ de índice finito debe contener $z$, pero $G/\langle z \rangle$ es elemental abelian y es residual finito.
Creo que usted puede conseguir un finitely generado ejemplo, $H = \langle t \rangle$ colindando un nuevo generador de $t$ de infinito pedido, junto con las relaciones $x_i^t = x_{i+1}$, $y_i^t = y_{i+1}$ para todos los $i$. Entonces tenemos $z \in Z(H)$, $H/\langle z \rangle$ es residual finito, sino $H$ no lo es.
xsnl
Puntos
131
También hay un ejemplo - que es lo más probable folclore, pero explícitamente escrito por Deligne.
La reclamación. Cualquier central de extensión de la $\Bbb Z/k \to \widetilde{Sp(2n, \Bbb Z)} \to Sp(2n, \Bbb Z)$ correspondiente a $k$-toldo de cubierta de $Sp(2n, \Bbb R)$ a excepción de $k = 2$ no es rFin.
Este ejemplo es finitely presentado, porque es el centro de extensión de la aritmética grupo cíclico - aritmética grupos f. p. y siendo f. p. se conserva por las extensiones.
(P. Deligne, Extensiones centrales no résiduellement finies de grupos de arithmétiques, 1978)
