Condiciones para que una matriz tenga valores propios no repetidos

Question

Me pregunto si alguien sabe alguna referencia / idea que pueda usarse para abordar la siguiente pregunta aparentemente simple

"¿Existe algún conjunto de condiciones para que todos los valores propios de una matriz definitiva real definida sean diferentes?"

La dualidad de la motivación en el análisis de componentes principales

Answer 1

Una condición suficiente es que los discos de Gersghorin asociados a una matriz dada no se cruzan. Esto es fácil de comprobar en aplicaciones prácticas, ya que uno puede computar sólo los discos de las entradas de la matriz sí mismo.

Answer 2

Más en general, vamos a $A\in M_n(K)$ donde $K$ es un campo con $char(K)=0$ (podemos generalizar esta condición) . Entonces

$A$ no tiene múltiples valores propios en $\bar{K}$, la clausura algebraica de $K$, IFF

$discrim(det(A-xI),x)\not=0$ donde $discrim(P,x)$ es el discriminante del polinomio $P$ con respecto al $x$.

cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant

Ejemplo. Deje $a\in \mathbb{R}$. La verdadera matriz $A=\begin{pmatrix}-93& -32& 8& 44\\-76& -74& 69& 92\\-72& a& 99& -31\\-2& 27& 29& 67\end{pmatrix}$ $4$ complejo distintos autovalores IFF

$discrim(\det(A-xI),x)=104185835672256a^5+45369178665625008a^4+20868533919078853824a^3+4464564616463758516336a^2+553796534057255432000352a-56405327830695680670639360\not= 0$.

En particular, si $a\approx 61.403389758845937922$, $A$ admite la doble autovalor $\approx 99.417913129590713400$.