Lo siento por la falta de claridad en el título, el problema es demasiado específicas, por lo que no podía pensar en otra cosa. Aquí va:
Si $$ \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = a > 0, $$ demostrar que $$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n} = un. $$
Ahora, en mi libro de texto no es una prueba suministrada, pero no la entiendo. Va como esto:
\begin{equation} \tag{1} \sqrt[n]{x_n} = \sqrt[n]{ \frac{x_n}{x_{n-1}} \cdot \frac{x_{n-1}}{x_{n-2}} \cdot \ldots \cdot \frac{x_2}{x_1} \cdot \frac{x_1}{1} } \end{equation}
Luego se toman $\log$ de ambos lados:
\begin{equation} \tag{2} \log \sqrt[n]{x_n} = \frac{1}{n} \left( \log \frac{x_n}{x_{n-1}} + \log \frac{x_{n-1}}{x_{n-2}} + \dotsb + \log \frac{x_2}{x_1} + \log \frac{x_1}{1} \right) \end{equation}
Estos dos pasos son claras para mí. Lo que viene a continuación es lo que no entiendo:
\begin{equation} \tag{3} \lim_{n \to \infty} \log \sqrt[n]{x_n} = \log \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{x_{n-1}} = \log a \end{equation}
El libro de texto no ofrece ninguna otra explicación para esto, excepto por una pequeña nota diciendo 'del teorema de Cauchy'. La única Cauchy teorema mencionado anteriormente en el libro de texto fue el primero de este artículo.
A continuación, el resto de la prueba se parece a esto:
\begin{equation} \tag{4} e^{\log \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n}} = e^{\log a} \end{equation} \begin{equation} \tag{5} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n} = a \end{equation}
Donde también tengo ni idea de lo que está sucediendo.
Alguna idea?
Gracias.
