Citamos lo siguiente Enlace MSE I así como este Enlace MSE II . Con la presente pregunta utilizamos la interpretación que hemos conjuntos de conjuntos, es decir, que las variables de origen forman conjuntos y no multisets, estos conjuntos pueden aparecer varias veces. Utilizando la notación que se presentó allí obtenemos la forma cerrada para el caso de que los conjuntos ordenados
$$\left[\prod_{k=1}^l A_k^{\tau_{k}}\right] \prod_{k=1}^m Z\left(P_k; \sum_{k'=1}^l A_{k'}\right)^{\sigma_k}.$$
En cuanto a las clases combinatorias, hemos recurrido a las clases no etiquetadas clase
$$\def\textsc#1{\dosc#1\csod} \def\dosc#1#2\csod{{\rm #1{\small #2}}} \textsc{SEQ}_{=\sigma_k} \left(\textsc{SET}_{=k} \left(\sum_{k'=1}^l \mathcal{A}_{k'}\right)\right).$$
Tenga en cuenta que el índice de ciclo creará los conjuntos intermedios durante la evaluación. Tenemos para el caso desordenado
$$\left[\prod_{k=1}^l A_k^{\tau_{k}}\right] \prod_{k=1}^m Z\left(S_{\sigma_k}; Z\left(P_k; \sum_{k'=1}^l A_{k'}\right)\right).$$
De nuevo, en términos de clases combinatorias hemos hecho uso de la clase no etiquetada
$$\textsc{MSET}_{=\sigma_k} \left(\textsc{SET}_{=k} \left(\sum_{k'=1}^l \mathcal{A}_{k'}\right)\right).$$
Aquí hemos utilizado la recurrencia de Lovasz para el índice de ciclo $Z(P_n)$ del operador conjunto $\textsc{SET}_{=n}$ en $n$ ranuras, que es
$$Z(P_n) = \frac{1}{n} \sum_{l=1}^n (-1)^{l-1} a_l Z(P_{n-l}) \quad\text{where}\quad Z(P_0) = 1.$$
Esta recurrencia nos permite calcular el índice de ciclo $Z(P_n)$ muy fácilmente.
Ejemplo según solicitud. Utilizando la notación del enlace obtenemos para el emparejamiento $A_1 A_2 A_3^2 A_4^2$ y $B_1^2 B_2^2$ el clase combinatoria
$$\textsc{MSET}_{=2} (\textsc{SET}_{=1}(\mathcal{A_1}+\mathcal{A}_2 +\mathcal{A}_3+\mathcal{A}_4)) \times \textsc{MSET}_{=2} (\textsc{SET}_{=2}(\mathcal{A_1}+\mathcal{A}_2 +\mathcal{A}_3+\mathcal{A}_4)).$$
Se obtienen así los dos índices de ciclo
$$Y(B_1^2) = 1/2\,{a_{{1}}}^{2}+1/2\,a_{{2}}$$
y
$$Y(B_2^2) = 1/8\,{a_{{1}}}^{4}-1/4\,{a_{{1}}}^{2}a_{{2}} +3/8\,{a_{{2}}}^{2}-1/4\,a_{{4}}.$$
Multiplicar para obtener el índice del ciclo
$$Y(B_1^1 B_2^2) = 1/16\,{a_{{1}}}^{6}-1/16\,{a_{{1}}}^{4}a_{{2}} +1/16\,{a_{{1}}}^{2}{a_{{2}}}^{2} \\ -1/8\,{a_{{1}}}^{2}a_{{4}}+3/16\,{a_{{2}}}^{3}-1/8\,a_{{2}}a_{{4}}.$$
Sustituir $A_1+A_2+A_3+A_4$ para obtener
$$Y(B_1^1 B_2^2; A_1+A_2+A_3+A_4) = 1/16\, \left( A_{{1}}+A_{{2}}+A_{{3}}+A_{{4}} \right) ^{6} \\-1/16\, \left( A_{{1}}+A_{{2}}+A_{{3}}+A_{{4}} \right) ^{4} \left( {A_{{1}}}^{2}+{A_{{2}}}^{2}+{A_{{3}}}^{2}+{A_{{4}}}^{2} \right) \\ +1/16\, \left( A_{{1}}+A_{{2}}+A_{{3}}+A_{{4}} \right) ^{2} \left( {A_{{1}}}^{2}+{A_{{2}}}^{2}+{A_{{3}}}^{2}+{A_{{4}}}^{2} \right) ^{2} \\ -1/8\, \left( A_{{1}}+A_{{2}}+A_{{3}}+A_{{4}} \right) ^{2} \left( {A_{{1}}}^{4}+{A_{{2}}}^{4}+{A_{{3}}}^{4}+{A_{{4}}}^{4} \right) \\+3/16\, \left( {A_{{1}}}^{2}+{A_{{2}}}^{2}+{A_{{3}}}^{2}+{A_{{4}}}^{2} \right) ^{3} \\ -1/8\, \left( {A_{{1}}}^{2}+{A_{{2}}}^{2}+{A_{{3}}}^{2}+{A_{{4}}}^{2} \right) \left( {A_{{1}}}^{4}+{A_{{2}}}^{4}+{A_{{3}}}^{4}+{A_{{4}}}^{4} \right).$$
Ampliar para obtener
$$\cdots+10\,A_{{1}}{A_{{2}}}^{2}A_{{3}}{A_{{4}}}^{2} +3\,A_{{1}}{A_{{2}}}^{2}{A_{{4}}}^{3} +A_{{1}}A_{{2}}{A_{{3}}}^{4} +6\,A_{{1}}A_{{2}}{A_{{3}}}^{3}A_{{4}} \\+10\,A_{{1}}A_{{2}}{A_{{3}}}^{2}{A_{{4}}}^{2} +6\,A_{{1}}A_{{2}}A_{{3}}{A_{{4}}}^{3} +A_{{1}}A_{{2}}{A_{{4}}}^{4}+\cdots$$
Vemos que para cuatro tipos de variables con multiplicidades $1,1,2,2$ crear un multiconjunto de conjuntos cuyos conjuntos tengan cardinalidad $1,1,2,2$ el número total de configuraciones es de diez. Éstas están claramente determinadas por los pares y obtenemos
-
$\{\{A_1, A_3\},\{A_2, A_3\}\}$
-
$\{\{A_1, A_4\},\{A_2, A_4\}\}$
-
$\{\{A_1, A_3\},\{A_2, A_4\}\}$
-
$\{\{A_1, A_4\},\{A_2, A_3\}\}$
-
$\{\{A_1, A_2\},\{A_3, A_4\}\}$
-
$\{\{A_1, A_3\},\{A_3, A_4\}\}$
-
$\{\{A_1, A_4\},\{A_3, A_4\}\}$
-
$\{\{A_2, A_3\},\{A_3, A_4\}\}$
-
$\{\{A_2, A_4\},\{A_3, A_4\}\}$
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$\{\{A_3, A_4\},\{A_3, A_4\}\}.$
