La sentencia S que Gödel en su demostración del teorema de incompletitud demuestra que es indemostrable en el sistema de la aritmética de Peano puede demostrarse (como teorema verdadero de la AP) fuera de la AP (y necesariamente sólo fuera de PA).
Comparado con el último teorema de Fermat F que establece que para n>2, a, b, c \in \mathbb{N}
a^n + b^n = c^n \rightarrow a = 0 \text{ or } b = 0
es difícil escribir S como una frase de PA y entender su significado. Sin embargo, es un teorema (verdadero) de la teoría pura de los números, perfectamente expresable en el lenguaje de la AP. Y para ambos S et F no se conoce ninguna prueba dentro de la AP. (Para S allí no puede ser uno).
Mi pregunta es: ¿Se puede demostrar (y/o cómo se puede demostrar) que el último teorema de Fermat no tiene demostración en el lenguaje de la aritmética de Peano?
Esto implicaría que uno debe salir del ámbito de la aritmética de Peano para demostrarlo. Como pregunta al margen: ¿Cómo se denominarían -en términos generales- los ámbitos en los que Gödel y Wiles realizaron sus demostraciones? ¿"Teoría de modelos" y "geometría algebraica"?
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Sorprendentemente no puedo encontrar rápidamente un duplicado, pero un comentario en esta respuesta afirma que "los expertos creen ahora que la prueba de Wiles puede convertirse mecánicamente en una prueba sobre un sistema increíblemente débil, ¡incluso más débil que PA!"
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La sentencia de Gödel es indecidible en PA (pero es verdadera). Supongamos que se puede demostrar de forma similar que F es indecidible en PA. Entonces habrías demostrado que es cierto, ya que de lo contrario existiría un contraejemplo que contradice la indecidibilidad.
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No entiendo el argumento. ¿Cómo se deduce que F es verdadera de ser indecidible? (Esto se mantiene y es el significado sólo de S .)
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(Olvida que sabemos que F es cierto). Supongamos que F era tanto indecidible en PA como falso. Como es falso, existen enteros a , b et c y un n>2 tal que a^n+b^n=c^n . Podemos encontrar estos enteros. Por lo tanto, podemos demostrar que F es falso dentro de PA, contradiciendo la indecidibilidad. Por lo tanto, si usted que F es indecidible dentro de PA se deduce que F es cierto.
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¿Pero cómo podemos encontrarlos? Pueden ser arbitrariamente grandes. ¿No se pierde esto la esencia de la demostrabilidad? ¿O me he perdido algo?
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Podemos encontrarlos porque estamos asumiendo que existen ("Supongamos F era... falso").
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Ahora veo la lógica: Si supiéramos que F es indecidible, sabemos que es verdadera. Así que una prueba de la indecidibilidad de F sería una prueba de F (al igual que con S o cualquier teorema T ) - pero fuera de PA. Pero desde F ser cierto no implica que F es indecidible. Así que la indecidibilidad de F no se ha demostrado (al contrario de lo que usted afirma). ¿Dónde está el error lógico?
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La pregunta tiene una suposición implícita de que F no sería demostrable en PA, pero no hay ninguna razón clara para hacer esa suposición. La sentencia de Gödel es en cierto modo una excepción - generalmente esperamos que cualquier \Pi^0_1 La frase que se demostró por primera vez fuera del campo de la lógica será demostrable en AP y en sistemas mucho más débiles. Así que las preguntas estarían mejor formuladas como "Cómo demostraríamos F en AP" en lugar de "Cómo demostraríamos que F no es demostrable en AP".
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@HansStricker Sólo estaba reclamando " F es indecidible en PA \Rightarrow F es cierto". Todo lo demás que afirmé no fue intencionado, y el sentido contrario de esta implicación es casi seguro que no es cierto.