Dejemos que $X_1, X_2, \ldots, X_n$ sean variables aleatorias i.i.d. de una distribución $D$ en los números reales con media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ . Supongamos que la probabilidad de $X_i = 0$ es $0$ . ¿Cuál es la expectativa $$ \mathbb{E}\left[\frac{(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}\right]? $$
O bien, ¿es imposible expresarlo en términos de $\mu$ y $\sigma^2$ ?
Observaciones: Si descontamos $n^2$ del numerador y $n$ del denominador, equivale a $$ \mathbb{E}\left[\frac{n^2 \cdot \text{AM}^2}{n \cdot \text{QM}^2}\right] = n \cdot \mathbb{E}\left[ \left(\frac{\text{AM}}{\text{QM}}\right)^2\right], $$ donde AM es la media aritmética y QM es la media cuadrática. Así que la respuesta es positiva y entre $0$ y $n$ por la desigualdad QM-AM.
Esto surgió en el cálculo de una expectativa diferente. He intentado calcular algunos casos concretos, pero aún no he obtenido una respuesta. Parece posible que la respuesta no sólo dependa de $\mu$ y $\sigma^2$ Además, el numerador se relaciona muy bien con la varianza, así que tal vez una descomposición a lo largo de esas líneas funciona.
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Por lo que veo, el valor depende de la distribución real y no sólo de los parámetros $\mu$ y $\sigma$ .
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¡@KaviRamaMurthy ¡Bien! escribe una respuesta! :)
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Si cualquiera de los dos $X_1$ o $X_2$ (no necesariamente i.i.d.) son simétricas respecto al origen, entonces ${\mathbb E}\left[\frac{(X_1+X_2)^2}{X_1^2+X_2^2}\right]=1$ ya que se podría equiparar con ${\mathbb E}\left[\frac{(X_1+\varepsilon X_2)^2}{X_1^2+X_2^2}\right]$ donde $\varepsilon$ es uniforme en $\{1,-1\}$ . (Menciono esto para salvar a cualquier otra persona de intentar encontrar un contraejemplo de esta forma - esto se extiende a los $n$ también, si no me equivoco si todos menos uno $X_i$ es simétrico)