Estructura del anillo de$\mathbb{R}[x]/(p(x))$.

Question

Deje $p(x) = ax^2 + bx + c \in \mathbb{R}[x]$ ser un polinomio de grado 2 con coeficientes reales tales que a $D := b^2 - 4ac$. Me gustaría examinar la estructura del anillo de $\mathbb{R}[x]/(p(x))$ en los tres casos siguientes: $D > 0, D < 0,$$D = 0$. (Tenga en cuenta que $(p(x))$ es el ideal generado por a $p(x)$.)

Donde Estoy:

Bueno, si $D>0$ (creo que tengo este caso)...

...a continuación, $p(x)$ tiene dos distintas (real) de las raíces; llamarlos $\alpha$$\beta$. Por lo tanto, podemos escribir la $p(x) = (x - \alpha)(x - \beta)$. Por lo tanto, por el Teorema del Resto Chino, tenemos que $$ \mathbb{R}[x]/(p(x)) \cong \mathbb{R}[x]/(x - \alpha) \times \mathbb{R}[x]/(x - \beta). $$ Ahora, pretendemos que $\mathbb{R}[x]/(x - \alpha) \cong \mathbb{R}$. En efecto, considerar la homomorphism $\phi:\mathbb{R}[x] \to \mathbb{R}$$\phi(q(x)) = q(\alpha)$. Entonces, desde $$ \phi(q(x)) = q(\alpha) = 0 \iff q(x) \in (x - \alpha), $$ vemos que $\ker(\phi) = (x - \alpha)$. Además, dado que podemos considerar a cada número real a ser una constante polinomio, podemos ver que $\phi$ es surjective. Por lo tanto, resulta de la aplicación del Primer Teorema de Isomorfismo que $$ \mathbb{R}[x]/\ker(\phi) = \mathbb{R}[x]/(x - \alpha) \cong \phi(\mathbb{R}[x]) = \mathbb{R}. $$ Del mismo modo, $\mathbb{R}[x]/(x - \beta) \cong \mathbb{R}$. Por lo tanto, $$ \mathbb{R}[x]/(p(x)) \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}. $$

Ahora, si $D < 0$...

...a continuación, $p(x)$ no tiene raíces reales. Por lo tanto, $p(x)$ es irreductible. Por eso, $\mathbb{R}[x]/(p(x))$ es sin duda un campo de algún tipo. Sé que $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}[x]/(x^2+1)$; pero es cierto de cualquier cuadrático irreducible en $\mathbb{R}[x]$? Yo creo que no... pero estoy teniendo dificultades para describir este anillo más allá de esto. (Tenga en cuenta que no sé nada acerca de "campo"extensiones...)

Y, por último, si $D=0$...

...a continuación, $p(x)$ tiene una sola (real) de la raíz de multiplicidad dos; llamarlo $\gamma$. Por lo tanto, podemos escribir la $p(x) = (x - \gamma)(x - \gamma)$. Puedo hacer la misma conclusión, aquí lo que hice desde el primer caso? No veo por qué no, pero yo no me siento a todos los que la confianza de hacerlo...

Answer 1

Para $D>0$, está totalmente a la derecha.

Para $D<0$, usted realmente consigue $\Bbb C$ no importa qué. Vemos esto si usamos el isomorfismo $\Bbb R[x]/(p(x))\to\Bbb C$ que se asigna a $1$ $1$ $x$a una de las raíces complejas de $p$ (que, por supuesto, la necesidad de demostrar que esto está bien definido y un isomorfismo).

Para $D=0$, se obtiene lo que se llama el doble de los números. Como $\Bbb C$ tiene un estándar de representación como $\Bbb R[i]/(i^2+1)$, el doble de los números tiene un estándar de representación como $\Bbb R[\epsilon]/(\epsilon^2)$. De nuevo, para cualquier otro $p$, puede construir un isomorfismo. Esta vez $\Bbb R[\epsilon]/(\epsilon^2)\to\Bbb R[x]/(p(x))$ mediante el envío de $1$ $1$ $\epsilon$a uno de los lineales de los factores de $p$ (una vez más, demostrar que está bien definido y un isomorfismo).