En Libre Office Calc, la rand() función está disponible, la cual se escoge un valor aleatorio entre 0 y 1 a partir de una distribución uniforme. Estoy un poco oxidado en mi probabilidad, así que cuando vi el siguiente comportamiento, yo estaba perplejo:
A = 200x1 columna de rand()^2
B = 200x1 columna de rand()*rand()
mean(A) = 1/3
mean(B) = 1/4
¿Por qué es mean(A) != 1/4?
Puede ser útil pensar en rectángulos. Imagina que tienes la oportunidad de salir de la tierra de forma gratuita. El tamaño de la tierra será determinado por (a) la realización de la variable aleatoria o (b) dos realizaciones de la misma variable aleatoria. En el primer caso (a), el área será un cuadrado con lado de longitud igual al valor muestreado. En el segundo caso (b), los dos valores muestreados se representan la anchura y la longitud de un rectángulo. La alternativa que usted elija?
Deje $\mathbf{U}$ ser una realización de un positivo de la variable aleatoria.
a) El valor esperado de una realización $\mathbf{U}$ determina el área de la plaza, que es igual a $\mathbf{U}^2$. En promedio, el tamaño de la zona $$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$$
b) Si hay dos independientes realizaciones $\mathbf{U}_1$$\mathbf{U}_2$, el área se $\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2$. En promedio, el tamaño es igual que $$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2] = \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$$ ya que ambas realizaciones son de la misma distribución e independiente.
Cuando se calcula la diferencia entre el tamaño de las zonas a) y b), se obtiene
$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$$
El plazo mencionado es idéntica a $\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}]$ que es inherentemente mayor o igual a $0$.
Esto es para el caso general.
En tu ejemplo, se tomaron muestras de la distribución uniforme $\mathcal{U}(0,1)$. Por lo tanto,
$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{2}$$ $$\mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}] = \frac{1}{4}$$ $$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{12}$$
Con $\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] + \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$ obtenemos $$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$$
Estos valores se derivan analíticamente pero que coinciden con los que los obtenidos con el generador de números aleatorios.
No es para sugerir que hay algo que carece de Sven excelente respuesta, pero quería presentar un relativamente elementales sobre la cuestión.
Considere la posibilidad de trazar los dos componentes de cada producto con el fin de ver que la distribución conjunta es muy diferente.
Tenga en cuenta que el producto tiende sólo a ser grandes (cerca de 1) cuando ambos componentes son grandes, que ocurre mucho más fácilmente cuando los dos componentes están perfectamente correlacionadas en lugar de independiente.
Así, por ejemplo, la probabilidad de que el producto supera $1-\epsilon$ (para pequeñas $\epsilon$) es de alrededor de $\epsilon/2$ $U^2$ ('A') de la versión, pero para el $U_1\times U_2$ ('B') la versión se trata de $\epsilon^2/2$.
Una gran diferencia!
Esto puede ayudar a dibujar iso-producto de los contornos en los gráficos como los anteriores, es decir, las curvas de donde xy=constante para valores como 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9. Como usted vaya a más y más grandes valores, la proporción de los puntos de arriba y a la derecha de la curva de nivel que va mucho más rápidamente para el caso independiente.
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