Acerca del corolario de sylow$p$ - subgrupo del grupo finito.

Question

Estoy frente a un problema en el grupo de teoría de la pregunta o mejor dicho una duda. Si alguien me puede ayudar, por favor no trate de resolver esta cuestión. Hace un par de días, estábamos discutiendo un corolario de Sylow del teorema de la teoría de grupos (álgebra Abstracta) de conferencias. En ese corolario, nuestro maestro demostró que si un grupo finito G tiene orden de 30 de entonces,

1. Tendrá un subgrupo normal de orden $15$;
2. Sylow $3$-subgrupo y Sylow $5$-subgrupo será normal en $G$.

Si usted va a ver que podemos escribir la orden de grupo, $$ o(G) = 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 $$

y se puede observar fácilmente que el $2,3,5$ son primos y $2 < 3 < 5$ también la diferencia de los dos primeros números primos es $1$ ( $3-2$ ) y los dos últimos números primos son $2$ ( $5-3$ ). Vamos a escribir esto en toda una manera fácil, $$ (2, 3, 5) ⇒ (1, 2) $$ donde el producto de los números primos en el lado izquierdo nos da el orden de G y el lado derecho del no. son las diferencias entre los dos primeros y los dos últimos números primos, respectivamente. Aunque sé que esta no es la manera formal de escribir esto, por el bien de la conveniencia, estoy escribiendo de esta manera.

Ahora mi duda es, ¿hay infinitamente muchas de esas combinaciones de tres números primos $(p, q, r)$ $p < q < r$ tales que la diferencia de los dos primeros y los dos últimos números primos puede ser escrito como $2^{k-1}$ ( $q-p$ ) y $2^k$ ( $r-q$ ), donde $k \in \mathbb{N}$, es decir, $$ (p, q, r) ⇒ (2^{k-1}, 2^k) $$ tal que $p \cdot q \cdot r$ es un pedido de un grupo de $G$ de manera tal que,

1. $G$ tiene un subgrupo normal de orden $q \cdot r$;
2. Sylow $q$-subgrupo y Sylow $r$-subgrupo será normal en $G$.

Por otra parte, si somos capaces de encontrar la combinación de $(p, q, r)$ algunos $k \in \mathbb{N}$, entonces será una combinación única para ese $k$ y si él no es el único, es decir, si hay más de una combinación entonces, ¿cuántas combinaciones son posibles para ese $k$ y no hay ninguna relación entre las combinaciones para que $k$?

Answer 1

Pongamos las cosas en claro desde un grupo de perspectiva de la teoría: el comentario de Steve por supuesto que es muy válida: si se requiere que todos los subgrupos de Sylow a ser normal, a continuación, $G$ es nilpotent, y puesto que su orden son $p$, $q$, y $r$ respectivamente, obtenemos $G \cong C_{pqr}$, que es aburrido. Pero, independientemente de las diferencias entre las elecciones de los números primos $p$, $q$ y $r$, lo siguiente es verdadero.

Teorema Deje $|G|=pqr$, $p \lt q \lt r$ prime. A continuación, el Sylow $r$-subgrupo de $G$ es normal.

Para probar esto necesitamos un lema para dos números primos.

Lema Deje $|G|=pq$, $p \lt q$ prime. A continuación, el Sylow $q$-subgrupo de $G$ es normal.
Prueba De curso $n_q \in \{1,p\}$. Si $n_q=p$, $p \equiv 1$ mod $q$, lo que implica la $q \leq p-1 \lt p$, contradiciendo $p \lt q$. Por lo tanto $n_q=1$.

Antes de sumergirse en la prueba del teorema, nos deja digerir en lo que esto implica. Por lo tanto, vamos a $|G|=pqr$, con los números primos $p \lt q \lt r$. De acuerdo con el teorema, no hay una única y, por tanto, normal Sylow $r$-subgrupo, decir $R$. El lema nos dice que $G/R$ tiene un único Sylow $q$-subgrupo, se $QR/R$ donde $Q \in Syl_q(G)$ (estoy utilizando aquí que todos los subgrupos de Sylow de factor de grupos surgen como cocientes de sus correspondientes subgrupos de Sylow de todo el grupo). Llegamos a la conclusión de:

Corolario Deje $|G|=pqr$, $p \lt q \lt r$ primer y deje $Q \in Syl_q(G)$$R \in Syl_r(G)$. A continuación, $QR$ es normal en $G$.

Ahora vamos a demostrar el teorema.

Observar que $n_r \in \{1,p,q,pq\}$ y asumir que $n_r \neq 1$. Vamos a derivar una contradicción. En primer lugar, podemos descartar $n_r=p$, ya que esto implicaría $p \equiv 1$ mod $r$, de donde $r \leq p-1$, contradiciendo $p \lt r$. Del mismo modo, $n_r \neq q$. Por lo tanto $n_r=pq$. Así, el número de elementos de orden $r$ es igual a $pq(r-1)=|G|-pq$. Necesitamos esta tarde.

Ahora vamos a concentrarnos en $n_q$. De curso $n_q \in \{1, p, r, pr \}$, pero $p \lt q$ implica que el $n_q \neq p$. Se argumenta que el $n_q=1$: supongamos por el momento que $n_q \geq r$, entonces el número de elementos de orden $q$ al menos $r(q-1)$. La combinación de esta con lo que sabemos sobre el número de elementos de orden $r$ obtenemos $|G| \geq r(q-1)+|G|-pq$, lo $pq \geq r(q-1)$. Pero $pq \lt pr$, que asciende a $q-1 \lt p$, lo cual es un disparate. Así que debemos tener $n_q \lt r$, lo $n_q=1$ como la única posibilidad.

Ahora aplicamos el lema (dos veces!): deje $Q$ ser el único Sylow $q$-subgrupo de $G$ y deje $R$ ser un Sylow $r$-subgrupo de $G$. Hemos mostrado $Q \lhd G$ y el lema de los rendimientos de $QR/Q \lhd G/Q$, lo $QR \lhd G$. De curso $R$ es Sylow en $QR$ y de nuevo por el lema, incluso $R \lhd QR$. Ahora tenemos $R$ char $QR \lhd G$, así que, finalmente,$R \lhd G$, contradiciendo $n_r=pq$. $\square$

Observaciones Se podría reflexionar sobre lo que sucede si $|G|=pqrs$,$p \lt q \lt r \lt s$, de los números primos (uno puede mostrar que si $|G|$ es la plaza libre, entonces la Sylow $p$-subgrupo es normal, donde $p$ es el más grande de la primer división $|G|$). También, en el teorema y corolario, se puede probar que $Q \lhd G$ si y sólo si $q \nmid r-1$.