Convergencia puntual de la secuencia$(f_n)_n$ de las funciones a$f$ y los límites cambiantes

Question

Mis notas de análisis contiene la siguiente pregunta: si $(f_n)_n$ es una secuencia de funciones de $A \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $a \in \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$ una acumulación punto en $A$. Suponga que para todo $n$, $\lim_{ x \to a}f_n(x) = L_n$ existe y es finito. Supongamos $(f_n)_n$ converge pointwise a $f:A \to \mathbb{R}$.

1) No $\lim_{x \to a} f(x)$ existe?

2) No $\lim_{n \to \infty} L_n$ existe?

3) Podemos límites de cambio (en caso de que ambos límites existen)?

---

Si saben todas las preguntas deben ser no. He encontrado ejemplos para 1) y 3). Sin embargo, no puedo encontrar un ejemplo para 2). Sé que debo buscar una secuencia de funciones que no converge uniformemente. Todas las sugerencias se agradece.

---

Mis soluciones a 1) Definir $$f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto \begin{cases} -1 &\text{ if } x \leq -1/n\\ nx & \text{ if } -1/n < x < 1/n\\ 1 &\text{ if } x \geq 1/n\end{cases}.$$ This functions converges to the function $f$ which equals to -1 for $x > 0$, 0 for $x = 0$ and $1$ for $x > 0$. El límite en cero no existe.

y 3): definir $$f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto \frac{(nx)^2}{1 + (nx)^2}.$$ This sequence converges to $f$ which equals 1 everywhere, except for $x = 0$, where it equals to $0$. Tenemos que $$1 = \lim_{x \to 0} \lim_{n \to \infty} f_n(x) \neq \lim_{n \to \infty} \lim_{x \to 0} f_n(x) = 0$$

Answer 1

Deje $(f_n)_{n \geq 1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ se define como $f_{2n} = \chi_{[2n,+\infty)}$$f_{2n-1} = \chi_{(-\infty, 2n-1]}$. Ahora, si $x \in \mathbb{R}$ existe $k \in \mathbb{N}$ tal que $x \in [-k,k]$ si $n \geq k$,$f_n(x) = 0$. Por lo tanto, tenemos pointwise convergencia.

Por otra parte, si $a = \infty$$n \in \mathbb{N}$, $\lim_{x \to \infty}f_n(x)$ siempre existe,

$$\lim_{x \to \infty}f_n(x) = \casos{0 \quad n \text{ es impar} \\ 1 \quad n \text{ es aún}}$$

Sin embargo, es claro aquí que el $(L_n)_{n\geq 1}$ no converge, singe tomando pares e impares términos tenemos dos subsecuencias convergiendo a valores diferentes.

Como una nota del lado, una condición suficiente para $(2)$ a sostener es que el $a \in \mathbb{R}$ $f_n$ continua en $a$ todos los $n$, en cuyo caso $L_n \to f(a)$. Si es así, tendríamos que

$$|f(a) - L_n| \leq |f(a) - f_n(a)| + |f_n(a)-f_n(x)| + |f_n(x) - L_n|$$

Tomando límite de $x \to a$, tenemos que

$$|f(a) - L_n| \leq |f(a) - f_n(a)| \xrightarrow{n \to \infty} 0$$

como se reivindica.

Answer 2

Sugerencia para 2: considere que$f_n$ tiene forma de tienda alrededor de$a=0$, donde la pendiente de la tienda aumenta con$n$. Spoiler a continuación:

Explícitamente, tome$f_n$ para que sea cero excepto para$x\in (0,\frac1n)$, donde$f_n$ tiene pendiente$-n^2$%, y$x\in(-\frac1n,0)$, donde$f_n$ tiene pendiente$n^2$. Deje$f_n(0)=0$ para cada$n$, entonces$f_n$ tiene una discontinuidad extraíble en$x=0$. Discuta que$f_n(x)\to0$ para cada$x$. Pero para cada$n$ tenemos$\lim_{x\to0}f_n(x)=n=:L_n$, y$L_n$ no converge.

Answer 3

Permita que$\{q_1,q_2,\dots\}$ sea un pedido de$\mathbb{Q}$. Defina$f : \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ de la siguiente manera: $$f_n (x) = \begin{cases} 0 &: x\in \{q_i : 1 \leq i \leq n\}\\ n &: \text{otherwise}\end {cases}$$ Entonces,$\{f_n\}$ converge a$0$ puntualmente y para$a=0$,$L_n=n \, \forall n \in \mathbb{N}$. Claramente, contradice$2$.