¿Qué es la abelianización de $\langle x,y,z\mid x^2=y^2z^2\rangle?$

Question

Sea $G=\langle x,y,z\mid x^2=y^2z^2\rangle$ .

¿Cuál es la abelianización de este grupo? (Además, ¿existe un método general para calcular dichas abelianizaciones?).

Actualización: Sé cómo obtener una presentación de la abelianización añadiendo relaciones como $xy=yx$ etc. Sin embargo, ¿es posible expresarlo como una suma directa de grupos cíclicos según el teorema fundamental para grupos abelianos finitamente generados?

Gracias.

Answer 1

Puede reescribir su relator de forma que tenga $0$ suma de exponentes en dos de los generadores, ya que el mapa $x\mapsto xyz, y\mapsto y, z\mapsto z$ es una transformación Nielsen: $$ \begin{align*} \langle x, y, z\mid x^{2}=y^2z^2\rangle &\cong\langle x, y, z\mid x^{2}z^{-2}y^{-2}\rangle\\ &\cong\langle x, y, z\mid (xyz)^{2}z^{-2}y^{-2}\rangle \end{align*} $$ Bajo el mapa de abelinización obtenemos entonces el grupo: $$ \begin{align*} \langle x, y, z\mid (xyz)^{2}z^{-2}y^{-2}\rangle^{ab}&=\langle x, y, z\mid x^2\rangle^{ab}\\ &\cong \mathbb{Z}^2\times(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \end{align*} $$

---

Este es un caso específico de un fenómeno más general, en el que se puede adaptar el algoritmo euclidiano para reescribir mediante automorfismos una palabra $W\in F(a, b, \ldots)$ tal que tenga suma de exponentes cero en todos los relatores menos en uno. Por ejemplo, escribiendo $\sigma_x$ para la suma del exponente de la palabra del relator en la letra $x$ : $$ \begin{align*} &\langle a, b\mid a^6b^8\rangle&&\sigma_a=6, \sigma_b=8\\ &\cong\langle a, b\mid (ab^{-1})^6b^8\rangle&&\text{by applying}~a\mapsto ab^{-1}, b\mapsto b\\ &=\langle a, b\mid (ab^{-1})^5ab^7\rangle&&\sigma_a=6, \sigma_b=2\\ &\cong\langle a, b\mid (a(ba^{-3})^{-1})^5a(ba^{-3})^7\rangle&&\text{by applying}~a\mapsto a, b\mapsto ba^{-3}\\ &\cong\langle a, b\mid (a^4b^{-1})^5a(ba^{-3})^7\rangle&&\sigma_a=0, \sigma_b=2 \end{align*} $$ Se puede pensar en esto como un "no conmutativo". Forma normal de Smith "pero en este contexto es más útil que la forma normal de Smith, ya que proporciona más información que la mera abelianización. Por ejemplo, se utiliza en la versión con extensión HNN de la jerarquía de Magnus ( $a$ es la letra estable, y los subgrupos asociados son libres por el Freiheitssatz; véase J. McCool y P. Schupp, Sobre grupos de relatores y extensiones HNN Journal of the Australian Mathematical Society, Volumen 16, Número 2, Septiembre 1973 , pp. 249-256 doi ).

Answer 2

Yo lo vería como empezar con $\Bbb{Z}^3=\langle x,y,z\rangle $ y luego cociente del subgrupo cíclico $\langle x^{-2}y^2z^2\rangle$ . Puede ver fácilmente que $x^{-1}yz$ , $y$ y $z$ son un conjunto alternativo de generadores para $G$ por lo que se obtiene $\Bbb{Z}^2\times \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$ generado por $y, z,$ y $x^{-1}yz$ cuando se toma el cociente.

No hay necesidad de saber nada acerca de los grupos no abelianos, ya que puede abelianizar primero y luego mod out por la relación. (Abelianización es sólo modding a cabo por algunas relaciones, y no importa qué relaciones mod a cabo en primer lugar - se llega al mismo lugar en el final).

Answer 3

Si tenemos $$\langle x,y,z\ |\ x^{-2}y^2z^2=1\rangle^{\rm ab}=\langle x,y,z\ |\ x^{-2}y^2z^2=[x,y]=[x,z]=[y,z]=1\rangle$$ con uno de los movimientos Tietze $$\langle x,y,z,t\ |\ t=x^{-1}yz, t^2=[x,y]=[x,z]=[y,z]=1\rangle$$ Con otro, ahora arreglamos $$\langle x,y,z,t\ |\ x=yzt^{-1}, t^2=[x,y]=[x,z]=[y,z]=1\rangle$$ y finalmente obtener $$\langle y,z,t\ |\ t^2=[y,z]=1\rangle$$ que claramente es $\Bbb Z+\Bbb Z+\Bbb Z_2$ .