Si$\sigma: \mathbb{R}\to \mathbb{R}^2$ es una función que gira en espiral, va al infinito y se repite, entonces ¿$\sigma$ non-injetive?

Question

Deje $\sigma:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2$ ser una función uniforme tal que $$\frac{\text{d}\sigma}{\text{d}t}(s) \neq 0, \quad \forall s \in \mathbb{R},$$ y $$\sigma(t+n) = \sigma(n) +\sigma(t),\ \forall\ n \in \mathbb{Z}, \ t\in [0,1].$$

Por otra parte, supongamos que podemos escribir $\sigma'$ en coordenadas polares como $$\sigma'(t) = (r(t) \cdot\cos(\theta(t)),r(t) \cdot\sin(\theta(t))),$$ donde $r,\theta: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ son suaves funciones, y $\forall \ n$ $\in$ $\mathbb{Z}$ $$\theta(n) -\theta(n-1) = 2\pi .$$

Mi Duda: Puede $\sigma$ ser una función inyectiva?

---

Dibujando las figuras, llegué a la conclusión de que, probablemente, $\sigma$ no es una función inyectiva, una vez $\sigma$ es una función que se mueve en espiral y $\lim\limits_{t\to \infty}\|\sigma(t)\| = \infty$.

Pero yo no era capaz de encontrar una demostración para esta pregunta. Alguien me puede ayudar?

---

La intuición

Todos los $\sigma$ que me atrajo fue algo así como la trama de abajo, una vez $\sigma(1+t) = \sigma(1) + \sigma(t)$, si seguimos a dibujar la imagen de $\sigma$, que claramente son capaces de clonclude que $\{\sigma(t); \ t \in [0,1)\}\cap\{\sigma(t); \ t \in [1,2)\} \neq \emptyset$ (pero esto es sólo mi intuición sobre el problema).

Answer 1

No hay tal función es inyectiva. En la siguiente respuesta, ya que estoy teniendo problemas para conseguir fotos a mi pc, que me recomiendan seguir junto con el lápiz y el papel.

---

La primera cosa a considerar para este es el número de inflexión de una curva suave $\gamma$ - este es el número de veces que su derivado $\gamma'$ círculos de origen. Es de destacar que se han definido $\sigma$ que han de giro número de $1$ en el intervalo de $[0,1]$.

Ahora, vamos a hacer un topológica de la reclamación: Supongamos que tenemos una curva simple $\gamma$ que comienza y termina en una línea de $\ell$ y supongamos que $\gamma$ sólo se cruza con $\ell$ en un número finito de puntos y lo hace de forma transversal (es decir, en realidad cruza la línea). Ahora, no conocemos el valor exacto de $\gamma'$ en cada cruce, pero sabemos que si $\gamma'$ se encuentra por encima o por debajo de $\ell$ en cada cruce basado en la dirección en que $\gamma$ cruza la línea en la que básicamente nos dice, hasta una media vuelta, ¿cuánto $\gamma$ ha girado. Como ejemplo, aquí son sólo cuatro cosas $\gamma$ podría hacer si sólo se cruza con la línea dos veces, etiquetados con fracciones de números de inflexión, donde$\gamma$$A$$B$:

Esto es importante porque podemos calcular el radio de número de $\gamma$ dividiéndolo en los arcos que van de la línea a sí mismo en uno de estos cuatro casos, a continuación, agregar el giro número de cada arco juntos. Sin embargo, nos da una combinatoria descripción de la número de inflexión.

Podemos observar que podemos continua y suavemente cambio $\gamma$, de modo que sólo gira en una dirección, mientras que todavía no se interseca a sí mismo - esto equivale a la eliminación de las instancias donde dos cargas orientadas a la mitad de vueltas que uno siga al otro, que es bastante fácil de extraer la continua deformación que se deshace de la cuestión. Observar que podemos hacer esto mientras que nunca la introducción de nuevos puntos de intersección.

Por último, supongamos que el $\gamma$ es una curva de la liquidación de número de $1$ que va desde un punto de $A$ a un punto de $B$$\ell$. Podemos utilizar el de la maquinaria a ver que hay algún punto de $C$ $\ell$ tal que $B$ se encuentra en el segmento de $AC$ donde $\gamma$ (después de que algunos de deformación), los arcos "de arriba" $\ell$ para que se de$A$$C$, luego "siguiente" $\ell$ para que se de $C$ $B$- haciendo una especie de espiral hacia adentro de describir - donde "los de arriba" y "abajo" se refieren principalmente a los lados de $\ell$ para hacer el giro de los números de los arcos de trabajo fuera de la derecha. Ahora podemos aplicar esto.

En primer lugar, vamos a dibujar una línea de $\ell$ conectar $\sigma(0)$$\sigma(1)$. Para mayor comodidad, vamos a suponer que esta línea es la $x$-eje y que $\sigma(1)$ está a la derecha de $0=\sigma(0)$ - tomando nota de que siempre se puede girar para llegar a esta situación. El argumento anterior nos dice que $\sigma$ se cruzan $\ell$ en otro punto de $C$ a la derecha de $\sigma(1)$. Habrá algunas arco por encima de la línea (o, al menos, por encima de $\sigma(1)$), conectando a $\sigma(0)$$C$. Sin embargo, por la periodicidad, también hay un arco por encima de la línea que conecta $\sigma(1)$ $\sigma(1)+C$- y, desde $0 < \sigma(1) < C < \sigma(1)+C$, por lo tanto, obligado a ser un cruce de la imagen de $[0,1]$ bajo $\sigma$ con la imagen de $[1,2]$.