¿Qué es? $\lim_{x \to 0}\frac{\sin(\frac 1x)}{\sin (\frac 1 x)}$ ? ¿Existe?

Question

En
$$\lim_{x \to 0}\;\frac{\sin\left(\frac 1x\right)}{\sin \left(\frac 1 x\right)}$$ ¿Existe?

Creo que el límite debería ser $1$ . Porque que la función esté definida en el punto no es una condición para que exista el límite.

Esta pregunta apareció en mi examen y la respuesta dada es que el límite no existe.

Pero si vemos el gráfico está bastante claro que la función es exacto 1 como $x \to 0$ , por lo que el límite debe ser 0.

Incluso wolframio alfa da que el límite es 1.

Pero estamos jugando con el infinito, así que ¿quién sabe? ¿Quizás me estoy perdiendo algo?

Entonces, ¿cuál es exactamente el límite y por qué?

Editar:

El widget de Wolfram alpha (cuyo enlace he puesto arriba) dice que el límite es 1.

Pero aquí wolfram alfa dice que el límite no existe en la línea real.

Answer 1

Cito a Walter Rudin Principios del análisis matemático para la definición del límite de una función:

Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios métricos; supongamos que $E\subset X$ , $f$ mapas $E$ en $Y$ y $p$ es un punto límite de $E$ . Escribimos $\lim_{x\to p}f(x)=q$ si hay un punto $q\in Y$ con la siguiente propiedad: Para cualquier $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que $d_Y(f(x),q)<\epsilon$ para todos los puntos $x\in E$ tal que $0<d_X(x,p)<\delta$ .

Los símbolos $d_X, d_Y$ se refieren a las distancias en $X$ y $Y$ respectivamente.

En nuestro caso, $X=Y=\mathbb R$ con la métrica $d(x,y)=|x-y|$ . La función $f(x)=\frac{\sin \frac1x}{\sin \frac1x}$ mapea el conjunto $$ E=\mathbb R\setminus (\{\tfrac1{k\pi}:k\in \mathbb Z\setminus \{0\}\}\cup \{0\}) $$ en $\mathbb R$ y $0$ es un punto límite de este conjunto. Concluiremos que $\lim_{x\to 0}f(x)=1$ si para todo $\epsilon>0$ Podríamos encontrar un $\delta>0$ así que siempre que $x\in E$ y $0<|x|<\delta$ entonces $|f(x)-1|<\epsilon$ . Pero cualquier $\delta$ es suficiente, ya que $f(x)=1$ para todos $x\in E$ .

Por lo tanto, concluimos que $\lim_{x\to 0}f(x)=1$ .

Answer 2

En matemáticas, es muy es importante empezar con una buena definición. En la obra de Rudin Principios del análisis matemático se da la siguiente definición:

Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios métricos; supongamos que $E\subset X$ , $f$ mapas $E$ en $Y$ y $p$ es un punto límite de $E$ . Escribimos $f(x) \to q$ como $x\to p$ o $$ \lim_{x\to p} f(x) = q $$ si hay un punto $q\in Y$ con la siguiente propiedad: Para cada $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que $$ d_Y(f(x),q) < \varepsilon $$ para todos los puntos $x \in E$ para lo cual $$ 0 < d_X(x,p) < \delta.$$ Los símbolos $d_X$ y $d_Y$ se refieren a las distancias en $X$ y $Y$ respectivamente.

Hay mucho que hacer aquí, y no voy a analizarlo todo. Para dar algunas bases, hay que tener en cuenta que un espacio métrico es (a grandes rasgos) un conjunto de "puntos" junto con una forma de medir la "distancia" entre esos puntos. No hace falta que nos ocupemos de los detalles: el espacio $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ es un espacio métrico (los puntos son números reales, y la distancia entre dos puntos $x$ y $y$ viene dada por $|x-y|$ ). De hecho, podemos hacer que cualquier subconjunto de $\mathbb{R}$ en el espacio métrico con la misma función de distancia.

Lo importante es señalar que los espacios métricos implicados son muy importantes. En particular, necesitamos entender correctamente el dominio de la función con la que estamos trabajando. En el caso de $$ f(x) := \frac{\sin\left( \frac{1}{x} \right)}{\sin\left( \frac{1}{x} \right)}, $$ la implicación es que $f : E \to \mathbb{R}$ , donde $$E = \mathbb{R} \setminus \left(\{0\}\cup \left\{\frac{1}{k\pi} : k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\right\}\right)$$ con la distancia medida por el valor absoluto. No podemos tomar $X$ para ser un subconjunto mayor de $\mathbb{R}$ , como $f$ no está definida en un conjunto mayor. Pero para todos los $x\in X$ tenemos $ f(x) = 1$ por lo que para cualquier $\varepsilon > 0$ podemos tomar $\delta = 1$ (o, realmente, cualquier otra cosa que nos guste). Entonces, si $0 < |x| < \delta$ tenemos $$ d_X(f(x),1) = | f(x) - 1 | = |1-1| = 0 < \varepsilon. $$ Por lo tanto, el límite existe y es igual a 1. Es decir $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin\left( \frac{1}{x} \right)}{\sin\left( \frac{1}{x} \right)} = 1. $$

Answer 3

Si una función $f$ está definida por una "expresión analítica", entonces por convención su dominio $D$ es el conjunto de $x$ para la cual esta expresión puede ser evaluada sin hacer preguntas. En el caso que nos ocupa se trata del conjunto $$D:=\left\{x\in{\mathbb R}\biggm| x\ne 0\ \wedge \ x\ne{1\over k\pi} \ (k\in{\mathbb Z}_{\ne0})\right\}\ .$$ Este $D$ es un subconjunto, por tanto un espacio relativo, de ${\mathbb R}$ . El punto $0$ es un punto límite de $D$ de la misma manera que el punto $1$ es un punto límite del intervalo $(0,1)$ . Ya que en todos los puntos $x\in D$ la función $f$ asume el valor $1$ podemos decir con seguridad que $\lim_{x\to0} f(x)=1$ .

Answer 4

Esto es complicado (Edición: Y tan complicado que esta respuesta -seis upvotes- es errónea. )

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ADVERTENCIA: Esta respuesta es equivocada . Por favor, no lo vote (ni lo acepte). He decidido no borrarlo porque todavía puede ser útil.

La cuestión es la siguiente: el tradicional-elemental $\epsilon,\delta$ definición de la límite de una función de una variable real alrededor de $x=a$ implica un "barrio borrado" $ 0 < | x − a | < \delta$ es decir, un intervalo abierto perforado: debemos encontrar algún $\delta$ tal que la función evaluada dentro de esa vecindad cae cerca del límite. La pregunta es: ¿exigimos que la función esté definida en todo ese intervalo (real)? En realidad no lo hacemos (ese fue mi error). (Si ese fuera el caso, entonces una función definida sólo en los racionales no tendría límites). Todo lo que requerimos es que la condición se cumpla para todos los puntos del dominio que están dentro de ese barrio. (En realidad, si la función no está definida en alguna vecindad eliminada, tenemos que afirmar al menos que la $x=a$ es un punto límite del dominio . Sin esto, $\lim_{x\to 0} \sqrt{x-1}=3$ sería una verdad vacía)

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(Comienza la respuesta INCORRECTA)

En primer lugar, observe que la función está definida para todos los reales excepto para $x=0$ y para los puntos donde el denominador es cero: $$\sin(1/x)=0 \iff 1/x= k\pi \iff x = \frac{1}{k\pi}$$

para cualquier número entero $k$ .

Fuera de estos puntos prohibidos, la función es igual a $1$ .

Ahora, como has adivinado correctamente, que la función no está definida en $x=0$ no importa para calcular el límite.

Pero lo que importa es que los otros puntos prohibidos se acerquen arbitrariamente a $x=0$ por lo que no se puede encontrar ningún barrio alrededor $x=0$ donde se define la función. Entonces, el límite no existe. ( WRONG )

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(La gráfica de esta función consistiría en una línea horizontal ( $y=1$ ) con "agujeros" en $x=0$ y $x=1/k\pi$ . Estos agujeros se concentran cada vez más alrededor de $x=0$ ... No se puede confiar en un gráfico generado por ordenador para este tipo de función).

Answer 5

Dejemos que $f:S\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y $x_0\in S'.$ Se dice que que $$\lim_{x\to x_0}f(x)=L$$ si $$\forall \epsilon >0\exists \delta >0 \:\text{such}\:\text{that}\: x\in S \:\text{and}\: 0<|x-x_0|<\delta\implies |f(x)-L|<\epsilon.$$

Desde $\dfrac{\sin\left(\dfrac 1x\right)}{\sin \left(\dfrac 1 x\right)}=1$ en $\mathbb{R}\setminus\left(\{1/(n\pi)|n\in\mathbb{Z}\}\cup\{0\}\right)$ y $0$ es un punto límite del dominio de $f$ el límite sale y su valor es $1.$