Dado cualquier cuadrilátero convexo$ABCD$ y un punto interno$z$, es posible dibujar / construir una línea$EF$ que pasa por$z$ st$$\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}$ $
Respuestas
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Joe
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Mick
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Creo que no siempre es posible.
Vamos a la línea roja (Z) ser que la línea requerida. Se corta a AB y DC en E y F, respectivamente.
A través del Correo dibujar EG // AD corte de DC en la G. además, reduce BD en E'
De acuerdo a la exigencia,
$\frac {DF}{FC} = \frac {AE}{EB} = \frac {DE'}{E'B}$ ... [interceptar teorema]
A través de B, dibujar BX // E'F de corte DC producido en X.
POR semejanza de triángulos, $\frac {DE'}{E'B} = \frac {DF}{FC + CX}$
En otras palabras, el FC es demasiado corto para la igualdad de espera a menos que C es realmente X.
EDIT1: Si sólo queremos probar si $ EF$ existen,que $z$$EF$, es fácil.
deje $A(0,0),D(x_1,0),C(x_2,y_2),B(x_3,y_3),Z(a,b),H(p,q),H$$AC$$FH//AD \to EH//BC$, si podemos encontrar la $H(p,q)$, entonces podemos dibujar $EF$, y el problema está resuelto.
con las condiciones, tenemos:
$((x_2-x_1)y_3-x_3y_2)p^2+((x_1-a)x_2y_3+ax_2y_2+bx_2x_3-bx_2^2+bx_1x_2)p-bx_1x_2^2=0 \\ q=\dfrac{y_2p}{x_2}$
lo que significa que $H$ es edificable incluso por la brújula y las rectas $\implies EF$ es construible también.
El $p$ tiene dos soluciones porque ya no podemos límite de $E,F$ 's posición y la otra solución es $E,F$ de los segmentos de$AB ,CD$, pero en líneas de $AB ,CD$
rlpowell
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Comience con$E=A$ y$F=D$, de modo que$AE/EB=FD/FC$ porque ambos son iguales a$0$, y luego mueva$E$ y$F$ hacia$B$ y$C$ respectivamente, conservando la igualdad de las proporciones (que van al infinito como$E\to B$ y$F\to C$). Por continuidad, la línea$EF$ barre todo el cuadrilátero convexo, por lo tanto, en algún punto pasa por el punto$z$.
