Dejemos que $S$ sea un conjunto cualquiera y que $f:S \rightarrow F$ denotan el grupo libre en $S$ . Por definición, esto significa que para cualquier grupo $X$ y cualquier función $g:S \rightarrow X$ existe un homomorfismo único $h:F \rightarrow X$ tal que $h \circ f = g$ . ¿Cómo puedo demostrar que $f(S)$ genera $F$ ? Por "generar $F$ " Quiero decir que la intersección de todos los subgrupos de $F$ que contiene $f(S)$ es igual a $F$ .
Respuesta
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Esta es una propiedad estándar que puede derivarse de la propiedad universal de $F$ .
Dejemos que $H$ sea el subgrupo generado por $f(S)$ en $F$ . A continuación, considere la incrustación $\iota\colon S\hookrightarrow H$ inducido por $f$ . Por la propiedad universal, existe un único homomorfismo $\varphi\colon F\to H$ tal que $\varphi\circ f =\iota$ . Si componemos $\iota$ con la inclusión $j\colon H\to F$ entonces obtenemos un mapa $j\circ\iota\colon S\to F$ y, por tanto, existe un homomorfismo único $\psi\colon F\to F$ tal que $\psi\circ f = j\circ\iota$ . Por supuesto, $\psi=\mathrm{id}_F$ obras. Por otro lado, también lo hace $j\circ\varphi$ ya que $$(j\circ\varphi)\circ f = j\circ(\varphi\circ f) = j\circ \iota.$$ Por lo tanto, por la cláusula de unicidad de la propiedad universal, $j\circ\varphi=\mathrm{id}_F$ . Desde $j\circ\varphi$ es una biyección, se deduce que $j$ está en. Como $j$ es la inclusión $H\to F$ y está en, entonces $H=F$ , según se desee.
Nota. El argumento anterior funciona en muchos escenarios. Demuestra que el semigrupo libre sobre $S$ es generado por la (imagen de) $S$ Lo mismo ocurre con los anillos libres, los grupos relativamente libres, los entramados libres, etc. De hecho, funciona en cualquier variedad de álgebras (en el sentido del álgebra universal).
