Transformación T es ... "en"?

Question

Pensé que tenías que decir que un mapa está en algo ... como que no dices "el libro está en la cima" ...

Nuestro libro comienza diciendo "se dice que un mapeo está en R ^ m", pero a partir de entonces, simplemente dice "el mapeo está en", sin decir en qué . ¿Es simplemente la versión del autor de ser demasiado flojo para escribir el codominio (lo siento por decir algo negativo, pero eso es lo que me parece en este momento), o tiene un significado diferente?

Answer 1

Como mencioné en mi comentario, la palabra "a" es a menudo usado como un sinónimo para la palabra "surjective". En el mismo espíritu, puede utilizar el "uno a uno" en lugar de "inyectiva". Véase, por ejemplo, el correspondiente artículo de la Wikipedia.

Edit: estoy de acuerdo con los comentarios de Qiaochu y Jonas que "uno-a-uno" es un poco ambiguo y podría hacer referencia a un bijection. Así que probablemente es mejor atenerse a los términos inequívocos "inyectiva" y "surjective".

Answer 2

Sobre significa sobrevendiente: cada elemento en el espacio objetivo se encuentra en la imagen de la función. Formalmente, si$f:X\to Y$ está en, para todo$y\in Y$ podemos encontrar al menos un$x\in X$ tal que$y=f(x)$.

Answer 3

De hecho, escuchas estos términos en relación con las funciones.

Uno a uno significa lo mismo que inyectivo. Onto significa lo mismo que surjective. Uno a uno y sobre significa bijective.

Una función puede ser solo una de ellas o las tres.

Para responder a su pregunta específica, significa que cada valor del codominio está asignado a un miembro del dominio.

Answer 4

Considerar en primer lugar las definiciones de lo que significa para una función uno-a-uno o en (definiciones adaptado de John Durbin del Álgebra Moderna):

Uno a uno: Un mapeo $\alpha\colon S\to T$ se dice que el ser uno-a-unosi $$ \alpha(x_1) = \alpha(x_2)\quad\text{implica}\quad x_1=x_2\quad (x_1,x_2\in S), $$ es decir, si desiguales elementos en el dominio desigual imágenes en el codominio.

A: Si $\alpha\colon S\to T$$\alpha(S)=T$, $\alpha$ dijo estar en. Por lo tanto $\alpha$ es en si para cada una de las $y\in T$ hay al menos un $x\in S$ tal que $\alpha(x)=y$.

Usted puede ordenar de visualizar la definición anterior con la siguiente imagen:

$\color{white}{\text{center it no}}$

Ejemplo: Vamos a $S=\{x,y,z\}$$T=\{1,2,3\}$. A continuación, una asignación de $\alpha\colon S\to T$ puede ser definido por $\alpha(x)=2, \alpha(y)=1, \alpha(z)=3$. Otra asignación, $\beta\colon S\to T$, está dada por $\beta(x)=1,\beta(y)=3,\beta(z)=1$. La asignación de $\alpha\colon S\to T$ tiene este aspecto:

$\color{white}{\text{center it now pleas keep goo}}$

Y la asignación de $\beta\colon S\to T$ tiene este aspecto:

$\color{white}{\text{center it now pleas keep goo}}$

Para $\alpha\colon S\to T$, podemos ver esta asignación es debido a que cada elemento en $T$ está siendo asignado por algún elemento en $S$:

• $y\mapsto 1$
• $x\mapsto 2$
• $z\mapsto 3$

Pero, ¿qué acerca de la $\beta\colon S\to T$? Es este mapa? Puede usted ver por qué no? Considere lo siguiente:

• $x\mapsto 1$
• $z\mapsto 1$
• $\color{red}{?\mapsto 2}$
• $y\mapsto 3$

Para $\beta\colon S\to T$ a, cada elemento en $T$ debe ser asignado a por algún elemento en $S$. Por desgracia, como podemos ver arriba por la parte resaltada en rojo, ningún elemento en $S$ mapas a$2$$T$. Por lo tanto, $\beta$ no es una en la asignación.

Razonamiento Similar se demuestra que $\alpha$ es uno-a-uno, sino $\beta$ no lo es. Hace todo sentido, ahora?

Answer 5

Esto me confundía en mi primera clase de álgebra lineal, demasiado. La diferencia psicológica entre "a" y "surjective" es que ésta es sólo que se haya introducido como un adjetivo, mientras que antes de la experiencia nos hace querer leer "en" como una preposición. No creo que este problema surge porque "uno-a-uno", porque una vez más nos enteramos de esta frase como un adjetivo, por lo que no hay que confundirlo con el.

Diccionario inglés de Oxford tiene numerosas definiciones de la preposición "en", pero la única instancia que se da para el uso como adjetivo es en matemáticas.

B. adj.

De matemáticas. En el formulario de la izquierda. La designación de un mapeo de un conjunto a otro.

El siguiente es el primer presupuesto que hay para este uso:

1942 S. Lefschetz Algebraicas Topol. yo. 7 Si una transformación es 'a', la inversa de la imagen del complemento de un conjunto, es el complemento de la inversa de la imagen de ese conjunto.

Estoy confundido por esta cita, ya que el resultado es cierto para los mapas que no están en. Sin embargo, una rápida búsqueda en el libro muestra otros usos de la palabra "en" en el sentido moderno. El siguiente es más conveniente:

1951 N. Jacobson, Lect. Abstr. Álgebra I. 4 Si α es una asignación de S a T, y β es una asignación de T en S tales que αβ = $1_S$ y βα = $1_T$, entonces α y β son 1-1, en las asignaciones y β = α$^{−1}$.