Cuando tenemos la potencia establecida$2^S$, ¿significa realmente el 2 algo?

Question

He visto que la mayoría de los libros de matemáticas se refieren a la potencia establecida como$2^S$, generalmente de manera superficial y sin demasiados detalles. Me preguntaba si el 2 significaba algo, porque normalmente lo interpreto como una cosa de cardinalidad, como si S tuviera dos elementos, entonces el conjunto de poder tiene elementos$2^2 = 4$. ¡Gracias!

Answer 1

De hecho, si $A$ $B$ son conjuntos, entonces es común para definir $$A^B = \{f \mid f \text{ es una función de$B$$A$}\}$$ Puede que desee probar que $|A^B| = |A|^{|B|}$ mantiene para finito de conjuntos. Con esta notación, se puede tener $2 = \{0,1\}$ (o cualquier conjunto de 2 elementos), de modo que $2^S$ es el conjunto de funciones de$S$$\{0,1\}$. Podemos asociar $f \in \{0,1\}^S$ con el subconjunto $$S_f = \{s \in S: f(s) = 1\}$$ Esta asociación es bijective, por lo que nuestra versión de $2^S$ puede ser, naturalmente, el pensamiento de como el juego de poder de $S$.

Answer 2

Si $A$ $B$ son dos conjuntos, la notación $A^B$ es utilizado para el conjunto de todas las funciones de$B$$A$. Ahora $\mathcal{P}(S)$ puede ser identificado con el conjunto de todas las funciones de $S$ $\{0, 1\}$si identificamos cada subconjunto de $S$ con el correspondiente indicador de función. De esta manera podemos obtener un bijection $\mathcal{P}(s) \leftrightarrow \{0, 1\}^S$.

No es importante que el conjunto de $\{0, 1\}$ se compone exactamente de los dos elementos $0$$1$, es importante que contiene exactamente dos valores diferentes. La reducción de la notación $2^S$ se deriva a partir de esta observación.

Answer 3

Sí, la notación para el conjunto de potencia del conjunto$X$ se denota principalmente por$2^X$, por$\mathrm{Pow}(X)$ o$\mathcal{P}(X)$. La primera notación está relacionada con la cardinalidad, porque para conjuntos finitos,$|\mathrm{Pow}(X)| = 2^{|X|}$, por lo que la notación$2^X$.

Answer 4

El$2$ está presente porque hay$S$ decisiones binarias que deben tomarse. Entonces, hay$2^S$ formas de formar un subconjunto.