Para mostrar igual cardinalidad

Question

Para mostrar dos conjuntos tienen igual cardinalidad es siempre necesario mostrar bijection entre los conjuntos?

supongamos que tengo dos conjuntos a y B, ¿no es suficiente para mostrar que no existe uno en la asignación de la a a la B y algún otro en la asignación de formulario de B a A. La razón por la que estoy haciendo esta pregunta es que a veces se hace muy difícil construir una función que da bijection.

Por ejemplo, cuando yo quería mostrar bijection entre racionales y naturales. Fue difícil la construcción de una función de este tipo y más tarde descubrí que
$f(m,n)=2^{m-1}(2n-1)$

va a hacer el trabajo.

Ahora,recientemente, me encontré con otro problema que muestran que [0,1] y (0,1) tienen igual cardinalidad. Que fue capaz de construir en la asignación de (0,1) a [0,1] y también otra en la asignación de [0,1] a (0,1), pero ahora no podía construir una función que será biject los dos conjuntos.

Answer 1

No es necesario construir una bijection explícita si tiene un resultado a mano puede aplicar. Por ejemplo, el teorema de Schroeder-Bernstein establece que si hay inyecciones$f : A \to B$ y$g : B \to A$, entonces existe un bijection$h : A \to B$.

En su último ejemplo, no es difícil encontrar las inyecciones$f : [0,1] \to (0,1)$ y$g : (0,1) \to [0,1]$, por lo que debe existir una biyección entre los conjuntos, aunque no demostramos un ejemplo específico de uno.

Answer 2

A biject $[0,1]$ $(0,1)$deje $A$ el conjunto de los números $\frac12 \pm \frac{1}{2n}$$n=1,2,...$, a Continuación, para cada una de las $x$ en Un mapa a la siguiente (en el sentido de acercarse más a $1/2$) elemento de $A,$ y en el complemento mapa de $x$ a sí mismo. Por la inversa mapa de $(0,1)$ $[0,1]$ el uso de la set $B=A - \{0,1\}$ e este mapa en tiempo de los elementos de la $B$ "alejado" de la $1/2$ para el siguiente elemento, excepto que el correo.g $1/4$ mapa de vuelta a $0,$ ya que en el mapa de $0=1/2-1/(2*1)$ fue a la derecha hasta el punto de $1/2-1/(2*2)=1/4.$ Similarmente $3/4$ mapas a $1.$ bajo la inversa mapa.

Answer 3

Sí. Para demostrar que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad que usted tiene que probar que no existe un bijection entre los dos conjuntos.

Una manera de hacerlo es encontrar un explícito, preferiblemente legible para el ser humano, la fórmula que define tales bijection.

Otra manera es romper el equicardinality en pasos, y en cada intermedio encontrar un simple bijection entre los conjuntos; a continuación, utilice el hecho de que la composición de bijections es un bijection (por ejemplo, al demostrar que $\Bbb{|R|=|R^N|}$, al pasar por $2^\Bbb N$$2^{\Bbb{N\times N}}$).

Otra forma es utilizar el Cantor-Bernstein teorema que dice que si hay inyecciones $f\colon A\to B$$g\colon B\to A$, entonces no es un bijection $h\colon A\to B$. Esto es muy útil, ya que más a menudo que no, es más fácil llegar con inyecciones, que con bijections. (Puede usar la versión que reemplaza inyecciones por surjections, pero en el caso general no es esencial el uso del axioma de elección aquí; lo que se dice, en algunos casos surjections son suficientes, por ejemplo, cuando uno de los conjuntos involucrados es contable.)

Por último, puede utilizar el cardenal aritmética. El cardenal aritmética es la abstracción de todos los métodos anteriores, y que a menudo se asume que usted está lo suficientemente familiarizado con ellos para escribir los detalles si es necesario. Por ejemplo, $\Bbb {|N|\leq|Z|\leq|N\times N|\leq|N|}$ a establecer que $\Bbb Z$ es contable, implícitamente se supone que eres capaz de generar inyecciones testigos de cada una de las $\leq$, y con el Cantor-Bernstein del teorema que nos da la quería la igualdad.

Answer 4

La existencia de en el mapa de$A$ a$B$ da la tarjeta$(A)\leq$ card$(B)$ y la existencia de en el mapa de$B$ a$A$ da la tarjeta$(B)\leq$ tarjeta$(A)$. De cualquier manera podemos decir que la tarjeta$(A)=$ card$(B)$ es decir, debe haber una bijection entre$A$ y$B.$. Pero generalmente tenemos que mostrar que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad o no, no estamos interrelacionados en el mapa biyectivo y no es tan simple encontrar tal biyección.