He estado leyendo acerca de la integridad de los teoremas de Godel. En consecuencia, los axiomas de$R$ en la lógica de primer orden conforman uno de estos conjuntos que es completo y consistente. Pero siempre he visto el axioma del límite superior mínimo formulado en lógica de segundo orden. ¿Cuál es la formulación equivalente en lógica de primer orden?
Respuesta
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No hay propiamente equivalente a la formulación de la lógica de primer orden a la integridad de la propiedad de $(\Bbb R,\leq)$.
Una razón es que los de segundo orden axioma que nos permite cuantificar sobre todos los subconjuntos de a $\Bbb R$, y $2^{2^{\aleph_0}}$ de las personas.
Podemos escribir un esquema que dice que cada definibles por el subconjunto con los parámetros - si tiene una cota superior, entonces tiene al menos un límite superior. Si no nos permiten a los parámetros, a continuación, sólo hay $\aleph_0$ subconjuntos que podemos definir, y que está lejos de ser suficiente; y si permitimos parámetros, a continuación, podemos en la mayoría de definir $2^{\aleph_0}$ subconjuntos, que todavía está lejos de ser suficiente para cubrir todos los subconjuntos.
Hay, sin embargo, un pequeño truco que podemos utilizar: se define un nuevo lenguaje que contiene otro predicado $S$ y otro binario símbolo de la relación de $\in$. Añadimos los axiomas que decir que si $x\in y$$S(y)$$\lnot S(x)$; y que los axiomas de la $\leq$ son aplicables únicamente a los elementos que $\lnot S$ mantiene.
En definitiva, nos permiten dos tipo de objetos en nuestro universo, conjuntos y números reales y queremos asegurarnos de que las cosas que eran ciertas en $(\Bbb R,\leq)$ son verdaderas por las cosas que no son conjuntos.
Ahora podemos escribir las siguientes instrucciones:
$$\varphi(A,x)=S(A)\land\forall y(y\in A\rightarrow y\leq x)$$ Esta es una fórmula que indica que $x$ es una cota superior del conjunto a $A$. Y finalmente podemos escribir:
$$\forall A(S(A)\land\exists y(\varphi(A,y)\rightarrow\exists y(\varphi(A,y)\land\forall z(\varphi(A,z)\rightarrow y\leq z))$$
Todavía tenemos que modificar ligeramente nuestro modelo, ahora su universo es $\Bbb R\cup\cal P(\Bbb R)$, y las relaciones se $\leq$ $\in$ como normalmente pensamos de ellos. No es difícil comprobar que, efectivamente, la declaración es verdadera.
