Ejemplos de convergencia casi segura

Question

Conozco la definición de convergencia casi segura, pero no la entiendo en la práctica..... Por ejemplo, si tengo variables aleatorias independientes $$X_n \sim U (1, 1+ 1/n),$$ ¿converge casi con seguridad?

¡Gracias a todos!

Answer 1

Solemos utilizar algunos resultados auxiliares para demostrar la convergencia casi segura. El lema de Borel-Cantelli es un resultado muy útil que puede utilizarse para demostrar que una secuencia de variables aleatorias converge con casi total seguridad. Si demostramos que $$ \sum_{n=1}^\infty\Pr\{|X_n-1|>\varepsilon\}<\infty $$ para cada $\varepsilon>0$ entonces tenemos que los eventos $\{|X_n-1|>\varepsilon\}$ sólo ocurren un número finito de veces con casi total seguridad (aquí utilizamos el lema de Borel-Cantelli). Esto significa que la secuencia $\{X_n:n\ge1\}$ converge a $1$ casi seguro.

Desde $X_n\sim U(1,1+1/n)$ tenemos que $$ \Pr\{|X_n-1|>\varepsilon\}=\Pr\{X_n-1>\varepsilon\}=\Pr\{X_n>1+\varepsilon\}=\Pr\{X_n\in(1+\varepsilon,1+1/n)\}. $$ Si tomamos un tamaño suficientemente grande $n$ la última probabilidad anterior es $0$ y la serie converge, ya que sólo un número finito de términos no es igual a cero. Por lo tanto, $X_n$ converge a $1$ casi seguro.