Estoy tratando de resolver esta EDP utilizando la fórmula de Feynman-Kac
Ahora sigo los pasos regulares
Aquí es donde no sé cómo proceder. ¿Cómo calculo esta expectativa?
Como he mencionado en el comentario, simplemente usa la EDS que derivaste para obtener EDOs para los momentos de $X_T$. Es decir, deja que $m(t) = \mathsf EX_t$, entonces $\mathrm dm_t = \mu\mathrm dt$. Una ecuación similar puedes derivar para $v(t) = X^2_t$ usando el lema de Ito. Eso es básicamente todo.
Editar: obtendrás la siguiente EDS $$ \mathrm dX^2_t = (2\mu X_t +\sigma^2 X_t^2)\mathrm dt + 2 \sigma X^2_t\mathrm dB_t $$ de modo que $$ d v(t) = (2\mu m(t) + \sigma^2 v(t) )\mathrm dt $$ y si has encontrado $m(t)$ como sugerí anteriormente, solo necesitas resolver esta simple EDO para $v$. Dado que es no homogénea, puedes utilizar por ejemplo el método de Lagrange de variación de la constante.
Gracias por la respuesta, pero todavía no estoy seguro de qué hacer. ¿Debería intentar calcular el EDP para Z=X^2 y luego de alguna manera llegar a la respuesta?
Porque entonces tengo esta ecuación: primero el SDE: dZ=2Xdx+sigma^2*X^2dt = (sigma^2*X+2*mu)Xds+2X^2*sigma dB Tomo la integral y la expectativa, pero no sé cómo proceder. Obtengo tanto Z como X en la ecuación. Disculpa si los cálculos son difíciles de ver, pero no sé cómo formatear el texto mejor.
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Bueno, yo diría que $F(t,x) = \mathsf E_{(t,x)}[X^2_T]$ es el punto de partida. Has encontrado una EDS correcta: $$ \mathrm dX_t = \mu\mathrm dt + \sigma X_t \mathrm dB_t. $$ Ahora, para calcular la expectativa, intenta derivar EDOs para los primer y segundo momentos.
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@Ilya ¿Convertir a ecuación integral y luego tomar la expectativa?