La regla del hospital para dos variables.

Question

Cómo usar la regla de L'Hospital para calcular el límite de la función dada

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}?$$

Answer 1

No hay Regla de L'Hopital para límites de variables múltiples. Para calcular límites en variables múltiples, es necesario considerar cada posible enfoque de los límites.

Lo que puedes hacer aquí:

Colocar $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin\theta$, (sistema de coordenadas polares) y $(x,y)\to (0,0)$ te da los límites $r\to 0$ y no hay límites en $\theta$.

Ahora necesitamos sustituir estos en tu problema, lo que luego se convierte en $$\lim_{r\to 0}\dfrac{r^2}{r(\cos\theta+\sin\theta)}=\lim_{r\to 0}\dfrac{r}{(\cos\theta+\sin\theta)}$$ Ahora para caminos donde $\cos\theta\to-\sin\theta$ o $\cos\theta=-\sin\theta$, el denominador $\to0$ o $=0$ mientras que el numerador simplemente tiende a $0$ pero no exactamente a $0$. Dado que el segundo caso existe $\implies$ el límite no existe.

Si se aplica una condición adicional de que $(x+y)\neq 0$, incluso entonces el límite no existe ya que para el camino $\theta=0$, el límite es $0$ mientras que para el camino $\sin\theta=-\cos\theta+r\cos^2\theta$, el límite es algo que puede ser distinto de cero.

Answer 2

La respuesta de Christian Blatter es correcta. Este límite en particular es indefinido.

Recientemente he escrito un documento que proporciona una regla de L'Hospital para muchos tipos de límites multivariables. Puedes encontrarlo en

http://arxiv.org/abs/1209.0363

Answer 3

El límite no existe, porque cada vecindario $U_\epsilon({\bf 0})$ contiene puntos $(x,y)$ donde la expresión $${x^2+y^2\over x+y}$$ está indefinida.

Ahora se podría estar tentado a excluir los puntos $(x,y)$ con $x+y=0$ de la consideración, pero esto no ayuda: Sea $S$ el plano menos estos puntos y considera una secuencia arbitraria $x_n\to 0$ $\,(n\to\infty)$, $\, x_n>0$. Escogiendo $y_n:=-x_n+x_n^2$ garantiza que $(x_n,y_n)\in S$ y $(x_n,y_n)\to0$ $\,(n\to\infty)$. Para tal secuencia $${x_n^2+y_n^2 \over x_n+y_n}={2x_n^2+2x_n^3+x_n^4\over x_n^2}\to 2\qquad(n\to\infty)\ ,$$ mientras que para la secuencia $(x_n,0)$ el límite correspondiente es $=0$.

Answer 4

Dado que hay dos variables, la ecuación es una superficie (2 dimensional) por lo tanto, el límite también es un parche de 2 dimensiones. Debes aplicar la regla de L'Hopital en ambas direcciones, pero como la ecuación es simétrica, eso no debería ser un problema.