Convergencia de decrementos decrecientes de secuencias

Question

Deje$\beta_m\searrow 0$ tal que$\alpha_m:=\beta_m-\beta_{m+1}\searrow 0$.

Definir$b_n:=\inf\{m:\alpha_m<2^{-n}\}$. ¿Es cierto que $$\ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {b_n} {2 ^ n} <\ infty?$$

Por ejemplo, si$\beta_m=\frac 1 m$, luego$b_n\sim 2^{n/2}$, para que la serie anterior converja.

Un caso crítico es cuando$\beta_m=1/\log m$, de donde$\alpha_m\sim 1/m(\log m)^2$, y$b_n\sim 2^n/n^2$, por lo que la serie converge.

Editado: lamento haber tenido un error tipográfico: quise decir$\beta_m:=1/\log m$, no$\alpha_m:=1/\log m$. En el último caso, esta es una pregunta simple. Sin embargo, no está en el primer caso.

Answer 1

Para lo que vale (este es el wiki de la comunidad, siéntase libre de editar) aquí está el análisis de su caso crítico.

Considere la posibilidad de $\beta_m = \frac{1}{\ln m}$. A continuación, $$\begin{align} \alpha_m &= \beta_m - \beta_{m+1} = \frac{1}{\ln m}\left( 1- \frac{1}{1 + \frac{\ln(1+\frac{1}{m})}{\ln m}}\right)= \frac{1}{\ln m}\left( 1- \frac{1}{1 + \frac{1}{m\ln m} + o(\frac{1}{m\ln m})}\right) \\ &= \frac{1}{m\ln^2 m}+ o\left(\frac{1}{m\ln^2 m}\right) \tag{1} \end{align}$$ Ahora, a la luz de lo anterior, veamos $$\frac{1}{m\ln^2 m} \leq \frac{1}{2^n} \etiqueta{2}$$ para $n\geq 1$. La reorganización y la reescritura de la RHS, esto es equivalente a $$2\sqrt{m}\ln\sqrt{m} \geq 2^{n/2}\,.$$ Desde $2x\ln x = 2^{n/2}$ tiene solución $x=\frac{2^{n/2}}{n \ln 2} + o\left(\frac{2^{n/2}}{n}\right)$ (asymptotics tomado como $n\to\infty$), obtenemos que $$b_n \operatorname*{\sim}_{n\to\infty} \frac{2^n}{n^2\ln^2 2}$$ así que por comparación con la serie $\sum_n \frac{1}{n^2\ln^2 2}$ hemos $$\sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{2^n} < \infty\,.\la etiqueta{3}$$

Como observación final, tenga en cuenta que la "barrera" para ese tipo de $\alpha_m$ que daría lugar a la divergencia es $\alpha_m = \frac{1}{m\ln m}$. Sin embargo, para conseguir esto se necesita tomar $\beta_m = \ln\ln m$, y esto hace que no se satisface el supuesto de que $(\beta_m)_m$ estar disminuyendo.

Answer 2

Su caso crítico$\alpha_{m} = \frac{1}{\lg(m)}$ es un contraejemplo.

Tenga en cuenta que$b_{n} = 2^{(2^{n+1})}$, ya que tenemos

ps

y$$ \frac{1}{\lg(m)} < 2^{-n} \implies m > 2^{(2^{n})} $ es monótono.

Por lo tanto,

ps

En realidad, es más que crítico, podríamos hacer que difiera con mucho menos.