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Convergencia de decrementos decrecientes de secuencias

Deje$\beta_m\searrow 0$ tal que$\alpha_m:=\beta_m-\beta_{m+1}\searrow 0$.

Definir$b_n:=\inf\{m:\alpha_m<2^{-n}\}$. ¿Es cierto que $$ \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {b_n} {2 ^ n} <\ infty? $$

Por ejemplo, si$\beta_m=\frac 1 m$, luego$b_n\sim 2^{n/2}$, para que la serie anterior converja.

Un caso crítico es cuando$\beta_m=1/\log m$, de donde$\alpha_m\sim 1/m(\log m)^2$, y$b_n\sim 2^n/n^2$, por lo que la serie converge.

Editado: lamento haber tenido un error tipográfico: quise decir$\beta_m:=1/\log m$, no$\alpha_m:=1/\log m$. En el último caso, esta es una pregunta simple. Sin embargo, no está en el primer caso.

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Clement C. Puntos 16603

Para lo que vale (este es el wiki de la comunidad, siéntase libre de editar) aquí está el análisis de su caso crítico.

Considere la posibilidad de $\beta_m = \frac{1}{\ln m}$. A continuación, $$\begin{align} \alpha_m &= \beta_m - \beta_{m+1} = \frac{1}{\ln m}\left( 1- \frac{1}{1 + \frac{\ln(1+\frac{1}{m})}{\ln m}}\right)= \frac{1}{\ln m}\left( 1- \frac{1}{1 + \frac{1}{m\ln m} + o(\frac{1}{m\ln m})}\right) \\ &= \frac{1}{m\ln^2 m}+ o\left(\frac{1}{m\ln^2 m}\right) \tag{1} \end{align}$$ Ahora, a la luz de lo anterior, veamos $$ \frac{1}{m\ln^2 m} \leq \frac{1}{2^n} \etiqueta{2} $$ para $n\geq 1$. La reorganización y la reescritura de la RHS, esto es equivalente a $$ 2\sqrt{m}\ln\sqrt{m} \geq 2^{n/2}\,. $$ Desde $2x\ln x = 2^{n/2}$ tiene solución $x=\frac{2^{n/2}}{n \ln 2} + o\left(\frac{2^{n/2}}{n}\right)$ (asymptotics tomado como $n\to\infty$), obtenemos que $$ b_n \operatorname*{\sim}_{n\to\infty} \frac{2^n}{n^2\ln^2 2} $$ así que por comparación con la serie $\sum_n \frac{1}{n^2\ln^2 2}$ hemos $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{2^n} < \infty\,.\la etiqueta{3} $$

Como observación final, tenga en cuenta que la "barrera" para ese tipo de $\alpha_m$ que daría lugar a la divergencia es $\alpha_m = \frac{1}{m\ln m}$. Sin embargo, para conseguir esto se necesita tomar $\beta_m = \ln\ln m$, y esto hace que no se satisface el supuesto de que $(\beta_m)_m$ estar disminuyendo.

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zaphodxvii Puntos 75

Su caso crítico$ \alpha_{m} = \frac{1}{\lg(m)} $ es un contraejemplo.

Tenga en cuenta que$ b_{n} = 2^{(2^{n+1})} $, ya que tenemos

ps

y$$ \frac{1}{\lg(m)} < 2^{-n} \implies m > 2^{(2^{n})} $ es monótono.

Por lo tanto,

ps

En realidad, es más que crítico, podríamos hacer que difiera con mucho menos.

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