Deje$\beta_m\searrow 0$ tal que$\alpha_m:=\beta_m-\beta_{m+1}\searrow 0$.
Definir$b_n:=\inf\{m:\alpha_m<2^{-n}\}$. ¿Es cierto que $$ \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {b_n} {2 ^ n} <\ infty? $$
Por ejemplo, si$\beta_m=\frac 1 m$, luego$b_n\sim 2^{n/2}$, para que la serie anterior converja.
Un caso crítico es cuando$\beta_m=1/\log m$, de donde$\alpha_m\sim 1/m(\log m)^2$, y$b_n\sim 2^n/n^2$, por lo que la serie converge.
Editado: lamento haber tenido un error tipográfico: quise decir$\beta_m:=1/\log m$, no$\alpha_m:=1/\log m$. En el último caso, esta es una pregunta simple. Sin embargo, no está en el primer caso.