representando$n-1$ como una suma de factores de$n$

Question

Motivación: En el grupo de teoría se ha comprobado que el centro de un p-grupo no trivial. Esencialmente, la prueba está haciendo uso del hecho de que para cualquier número de la forma $n=p^k$ donde $p$ es primo, no hay manera de representar a $n-1$ como una suma de factores primos de a $n$ (debido a que todos los factores se dividen $p$ mientras $n-1$ no)

Pregunta: ¿hay otros números de $n$ tal que $n-1$ no puede ser escrita como una suma de no trivial factores de $n$, lo que permite repeticiones?

Sospecho que la respuesta es no, porque parece ser demasiado muchas maneras de jugar con los factores en la suma una vez que hay dos de ellos. Yo también era capaz de probar que no existe tal $n$ simple en algunos casos, pero creo que podría ser una prueba para el caso general, así.

Answer 1

Reclamo:

Si $n$ es un entero positivo con al menos dos factores primos, a continuación, $n-1$ puede ser expresada como una suma de no trivial (es decir, los factores no igual a $1$) número entero positivo de los factores de $n$ (posiblemente repetidos).

Prueba:

Desde $n$ tiene al menos dos factores primos, podemos escribir $n=ab$ donde $a,b$ son enteros con $a,b > 1$, e $\gcd(a,b)=1$.

Se sigue por un conocido primaria de resultado (y demostrado fácilmente), que cada entero $m$ mayor que $ab-a-b$ puede ser expresado como $m=ax+by$, para algunos de los números enteros no negativos $x,y$.

Ahora, simplemente, tenga en cuenta que $n=ab$ implica $n-1 > ab-a-b$.