Diferenciación implícita. Por favor, ayúdame a entender por qué!

Question

Estoy tratando de entender implícita diferenciación; entiendo qué hacer (que no es ningún problema), pero ¿por qué he de hacer es otra historia. Por ejemplo:

$$3y^2=5x^3 $$

Entiendo que, si puedo tomar la derivada con respecto a x de ambos lados de la ecuación, voy a conseguir:

$$\frac{d}{dx}(3y^2)=\frac{d}{dx}(5x^3)$$ $$6y\frac{d}{dx}(y)=15x^2\frac{d}{dx}(x)$$ $$6y\frac{dy}{dx}=15x^2\frac{dx}{dx}$$ $$6y\frac{dy}{dx}=15x^2$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{15x^2}{6y}$$

A menos que hiciera algún tipo de error, esto es lo que estoy supone que debe hacer. Pero, ¿por qué? Específicamente, en la segunda línea, utilizo la regla de la cadena para el "exterior" función y obtener 6y, pero todavía tengo que utilizar la regla de la cadena para el interior "función", que es el eje. Así que ¿por qué no seguir adelante y tomar la derivada de y y obtener 1? Sé que no soy supongamos que a, pero yo realmente no se "obtiene". A mí me parece que yo sólo uso de la regla de la cadena "a medio camino". ¿Por qué no es un todo o nada? Si todo se hace con respecto a x, me parece que el 3y^2 debe permanecer sin cambios por completo.

Este es mi problema. Y me disculpo si tengo alguna de la terminología incorrecta.

Answer 1

$\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}$ puede igualdad de $1$ en casos especiales, pero en general no es así. El punto de derivación implícita es que usted no sabe lo que es.

Así, la Regla de la Cadena se utiliza para separar la derivada de una función de $y$ wrt $x$ en dos términos diferenciales, uno puede resolver, y uno desconocido.

Para ser claros, este es el proceso con la etapa de agregado y resaltado. ¿Esta ayuda? $$\begin{align} 3y^2&=5x^3 \\[1ex] \frac{\mathrm d(3y^2)}{\mathrm d x} &= \frac{\mathrm d(5x^3)}{\mathrm dx} & \text{Take the derivative w.r.t. }x \\[1ex] \color{blue}{\frac{\mathrm d(3y^2)}{\mathrm d y}\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}}&=\frac{\mathrm d(5x^3)}{\mathrm dx} & \text{Apply the Chain Rule to the L.H.S.} \\[1ex] 6y\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}&=15x^2 & \text{Evaluate the polynomial derivatives }\frac{\mathrm d(c\,z^n)}{\mathrm d z}=c\,n\,z^{n-1} \\ && \text{where }n\in\Bbb N,\text{ and }c\text{ is constant} \\[1ex] \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}&=\frac{5x^2}{2y} & \text{Use arthimetic rearrangement} \end{align}$$

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Alternativamente, podemos utilizar explícita la diferenciación, de la siguiente manera: $$\begin{align} 3y^2&=5x^3 \\[1ex] y & = x^{3/2}\,\sqrt{\frac 5 3\;} & \star \\[1ex] \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x} & = \frac{\mathrm d x^{3/2}}{\mathrm d x}\;\sqrt{\frac 5 3\;} \\[1ex] ~ & = \frac{3 x^{1/2}\sqrt 5}{2\sqrt 3} \\[1ex] ~ & = \frac{3 x^{1/2}\sqrt 5}{2\sqrt 3}\times\frac{x^{3/2}\sqrt 5}{y\sqrt 3} & \text{ re: }\star \\[1ex] ~ & = \frac{5x^2}{2y} \end{align}$$

Answer 2

Cambie$y$ a$y(x)$ y todo debe ser claro. $y$ no es una constante, sino una función de$x$.

ps

Answer 3

Para un ejemplo concreto, deje$y(x)=x^2$. Claramente $y'=2x$. Sin embargo, según la pregunta, consideremos$y^2=x^4$.

Digamos que quería encontrar$y'$. Entonces:

$$\frac{d}{dx} y^2=4x^3$ $$$2yy'=4x^3$ $$$y'=\frac{4x^3}{2y}=\frac{4x^3}{2x^2}=2x$ $

¡Lo que es bueno! Sin embargo:

ps

evidentemente no es verdad y, lo que es peor, no contiene$$2y=4x^3$, que es el objetivo de todo esto.